www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Skalarprodukt
Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Skalarprodukt: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:45 Fr 06.07.2012
Autor: DudiPupan

Aufgabe
(a) Seien [mm] $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb{C}$. [/mm] Sei [mm] $\phi [/mm] : [mm] \mathbb{C}^2 \times \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C} [/mm] $ definiert durch [mm] $$\phi [/mm] (x,y) := [mm] \vektor{\overline{y_1}&\overline{y_2} } \pmat{\alpha & \beta \\ \gamma & \delta} \vektor{x_1\\x_2}$$ [/mm] für [mm] $x=\vektor{x_1&x_2}, y=\vektor{y_1&y_2}\in\mathbb{C}^2$. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $(x|y)=\overline{(y|x)}$ [/mm] und [mm] $(c_1x_1+c_2x_2|y)=c_1(x_1|y)+c_2(x_2|y)$ [/mm] genau dann gilt, wenn [mm] $\alpha,\delta\in\mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $\gamma=\overline{\beta}$ [/mm]

(b) Zeigen Sie, dass [mm] $(x|x)\ge [/mm] 0$ und [mm] $(x|x)=0\gdw [/mm] x=0$, [mm] $\alpha>0$ [/mm] und $ [mm] \delta>0$ [/mm] impliziert.

(c) Zeigen Sie, dass eine Matrix [mm] $$\pmat{\alpha & \beta \\ \overline{\beta} & \delta}$$ [/mm] entweder zwei verschiedene Eigenwerte hat, oder von der Form [mm] $\lambda [/mm] I$ mit [mm] $\lambda\in\mathbb{C}$ [/mm] und Einheitsmatrix $I$ ist.

(d) Zeigen Sie, dass [mm] $\phi$ [/mm] genau dann ein inneres Produkt ist, wenn [mm] $\alpha,\delta\in\mathbb{R},\alpha,\delta>0,\gamma=\overline{\beta}$ [/mm] und [mm] $\alpha\delta -\beta\overline{\beta}>0$ [/mm] ist.
Hinweis: Betrachten Sie die Eigenwerte von [mm] $$\pmat{\alpha & \beta \\ \gamma & \delta}$$ [/mm] Zeigen Sie zunächst, dass die eigenwerte reel sind, wenn [mm] $\phi$ [/mm] ein inneres Produkt auf [mm] $\mathbb{C}^2$ [/mm] ist.
Sind die Eigenwerte positiv oder negativ?

Guten Tag,
ich arbeite gerade an dieser Aufgabe.
Den Aufgabenteil (a) habe ich soweit gelöst.
Jetzt hänge ich an der (b).
Ich denke mal, dass ich hier mit den von (a) gezeigten Bedingungen arbeiten muss, oder?
Sonst könnte man [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\delta$ [/mm] ja nicht in Größenrelation setzten, wenn man nicht davon ausgehen würde, dass sie reell und nicht komplex sind.

Bis jetzt habe ich nur:
[mm] $\phi (x,x)=\alpha ||x_1||^2+\delta ||x_2||^2+\beta \overline{x_1} x_2 +\gamma x_1 \overline{x_2} \ge [/mm] 0$
Es gilt, wenn [mm] $\alpha,\delta\ge [/mm] 0$: [mm] $\alpha ||x_1||^2+\delta ||x_2||^2\ge [/mm] 0$
Aber was kann ich über [mm] $\beta \overline{x_1} x_2 +\gamma x_1 \overline{x_2}$ [/mm] sagen?

Vielen Dank

Liebe Grüße
DudiPupan

        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:54 Sa 07.07.2012
Autor: SEcki


>  Ich denke mal, dass ich hier mit den von (a) gezeigten
> Bedingungen arbeiten muss, oder?

Eigentlich nicht.

>  Sonst könnte man [mm]\alpha[/mm] und [mm]\delta[/mm] ja nicht in
> Größenrelation setzten, wenn man nicht davon ausgehen
> würde, dass sie reell und nicht komplex sind.

Wie man es nimmt - man kann es auch so lesen: [m]\phi(x,x)[/m] ist rell und größer 0. Dann musst die Tatsachen folgern.

Als Tip: setze spezielle Vektoren ein!

SEcki


Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:58 Sa 07.07.2012
Autor: DudiPupan

Vielen Dank für die Antwort!

> >  Ich denke mal, dass ich hier mit den von (a) gezeigten

> > Bedingungen arbeiten muss, oder?
>  
> Eigentlich nicht.
>  
> >  Sonst könnte man [mm]\alpha[/mm] und [mm]\delta[/mm] ja nicht in

> > Größenrelation setzten, wenn man nicht davon ausgehen
> > würde, dass sie reell und nicht komplex sind.
>  
> Wie man es nimmt - man kann es auch so lesen: [m]\phi(x,x)[/m] ist
> rell und größer 0. Dann musst die Tatsachen folgern.

Okay

>  
> Als Tip: setze spezielle Vektoren ein!

Wie meinst du spezielle Vektoren?
In der Form [mm] $x=\vektor{(a+bi)&(c+di)}$? [/mm]
Vielen Dank
DudiPupan

>  
> SEcki
>  


Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Sa 07.07.2012
Autor: SEcki


>  Wie meinst du spezielle Vektoren?
>  In der Form [mm]x=\vektor{(a+bi)&(c+di)}[/mm]?

Es gibt ein x mit [m]\phi(x,x)=\alpha[/m]! Such das mal.

SEcki


Bezug
                                
Bezug
Skalarprodukt: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:41 Sa 07.07.2012
Autor: DudiPupan


> >  Wie meinst du spezielle Vektoren?

>  >  In der Form [mm]x=\vektor{(a+bi)&(c+di)}[/mm]?
>  
> Es gibt ein x mit [m]\phi(x,x)=\alpha[/m]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

! Such das mal.

Okay, also ich habe folgende gefunden:

$x:=\vektor{1 & 0} \mbox{ und } x:=\vektor{(\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}i) & 0}} \mbox{ mit } \phi (x,x)=\alpha$
und

$x:=\vektor{0 & 1} \mbox{ und } x:=\vektor{0 & (\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}i)} }\mbox{ mit } \phi (x,x)=\delta$

Aber kann ich hieraus einfach so $\alpha >0,\delta >0$ folgern?

Vielen Dank
DudiPupan

>  
> SEcki
>  


Bezug
                                        
Bezug
Skalarprodukt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mo 09.07.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Skalarprodukt: (c)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:19 Sa 07.07.2012
Autor: DudiPupan

Hallo,

ich habe mich jetzt schon mal an die Aufgabe c) gesetzt.
Ich komme nach berechnung des char. Polynoms:
[mm] $\chi_A=(\alpha-\lambda)(\delta-\lambda)-\overline{\beta}\beta$ [/mm]
[mm] $=\lambda^2-(\alpha+\delta)\lambda-(\overline{\beta}\beta-\alpha\delta)$ [/mm]

[mm] $\Rightarrow \lambda_{1,2}=\frac{\alpha+\delta\pm \sqrt{(\alpha+\delta)^2+4(\overline{\beta}\beta+\alpha\delta)}}{2}$ [/mm]
Besitzt immer 2 Nullstellen, außer wenn gilt:
[mm] $(\alpha+\delta)^2+4(\overline{\beta}\beta+\alpha\delta)=0$ [/mm]
[mm] $=\frac{1}{4}(\alpha-\delta)^2+|\beta|^2=0$ [/mm]

Jetzt hier meine Frage:
Darf ich hier aus Aufgabenteil (a) annehmen, dass [mm] $\alpha,\delta\in\mathbb{R}$ [/mm] oder nicht?
Weil dann wäre [mm] $(\alpha-\delta)^2>0$ [/mm] und somit müsste gelten: [mm] $\beta=0,\alpha=\delta$ [/mm] und daraus würde dann die Matrix [mm] $\lambda [/mm] * I$ resultieren.

Oder darf ich das hier wieder nicht annehmen?

Vielen Dank
DudiPupan

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 So 08.07.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe mich jetzt schon mal an die Aufgabe c) gesetzt.
>  Ich komme nach berechnung des char. Polynoms:
>  
> [mm]\chi_A=(\alpha-\lambda)(\delta-\lambda)-\overline{\beta}\beta[/mm]
>  
> [mm]=\lambda^2-(\alpha+\delta)\lambda-(\overline{\beta}\beta-\alpha\delta)[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1,2}=\frac{\alpha+\delta\pm \sqrt{(\alpha+\delta)^2+4(\overline{\beta}\beta+\alpha\delta)}}{2}[/mm]
>  
> Besitzt immer 2 Nullstellen, außer wenn gilt:
>  [mm](\alpha+\delta)^2+4(\overline{\beta}\beta+\alpha\delta)=0[/mm]
>  [mm]=\frac{1}{4}(\alpha-\delta)^2+|\beta|^2=0[/mm]
>  
> Jetzt hier meine Frage:
>  Darf ich hier aus Aufgabenteil (a) annehmen, dass
> [mm]\alpha,\delta\in\mathbb{R}[/mm]


Na klar.

> oder nicht?
>  Weil dann wäre [mm](\alpha-\delta)^2>0[/mm]

Besser [mm](\alpha-\delta)^2 \ge 0[/mm]


FRED

>  und somit müsste
> gelten: [mm]\beta=0,\alpha=\delta[/mm] und daraus würde dann die
> Matrix [mm]\lambda * I[/mm] resultieren.
>  
> Oder darf ich das hier wieder nicht annehmen?
>  
> Vielen Dank
>  DudiPupan


Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt: Rückfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:01 So 08.07.2012
Autor: DudiPupan

Aber mir ist aufgefallen, dass in der Aufgabenstellung steht:
[mm] $\lambda\in\mathbb{C}$ [/mm]
wären [mm] $\alpha,\delta\in\mathbb{R}$ [/mm] würde ja schon genügen [mm] $\lambda\in\mathbb{R}$, [/mm] oder?

Ich habe mir mal überlegt:
Wenn [mm] $(\alpha-\delta)^2+|\beta|^2=0$ [/mm] sein soll, dann muss [mm] $(\alpha-\delta)^2\in\mathbb{R}$ [/mm] gelten.
Das gilt, wenn gilt:
[mm] $Re(\alpha)=Re(\delta)$ [/mm]
oder
[mm] $Im(\alpha)=Im(\delta)$ [/mm]
Aber eben nicht nur für [mm] $Im(\alpha)=Im(\delta)=0$ [/mm]
Desweiteren:
Wenn [mm] $\beta\neq [/mm] 0$ gilt, dann muss gelten:
[mm] $(\alpha-\delta)^2<0$ [/mm]
Angenommen es wäre [mm] $Im(\alpha )=Im(\delta [/mm] )$ wäre das ja logisch, dass das nie erfüllt wird und somit gilt: [mm] $\beta=0$ [/mm]
Jedoch für [mm] $Re(\alpha )=Re(\delta [/mm] )$ ist das ein wenig schwierig.
Da hier ja eben auch gelten kann [mm] $(\alpha-\delta)^2<0$ [/mm]
und somit müsste ja [mm] $(\alpha-\delta)^2=|\beta|^2$ [/mm] sein.
Aber dann komme ich doch nicht auf meine gewünschte Form [mm] $\lambda [/mm] *I$, oder?
kann mir hier bitte jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
Lg
DudiPupan


Bezug
                                
Bezug
Skalarprodukt: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 Mo 09.07.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]