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| Aufgabe | Untersuchen Sie, welche der folgenden Verknüpfungen Skalarprodukte
zwischen Vektoren u = (u1, u2, u3) und v = (v1, v2, v3) im Vektorraum ℝ3 sind.
Für die Skalarprodukte berechnen Sie die Norm von v = (1, 2, 3).
(a) <u, v> = [mm] u_{1} v_{1} [/mm] + [mm] u_{3} v_{3}
[/mm]
(b) <u, v> = [mm] u_{1}^2 v_{1}^2 [/mm] + [mm] u_{2}^2 v_{2}^2 [/mm] + [mm] u_{3}^2 v_{3}^2
[/mm]
(c) <u, v> = [mm] u_{1} v_{1} [/mm] + [mm] 2u_{2} v_{2} [/mm] + [mm] 4u_{3} v_{3}
[/mm]
(d) <u, v> = [mm] u_{1} v_{1} [/mm] - [mm] u_{2} v_{2}
[/mm]
(d) <u, v> = [mm] u_{1} v_{2} [/mm] + [mm] u_{2} v_{3} [/mm] + [mm] u_{3} v_{1} [/mm] |
Hallo....
wie gehe ich hier vor?
zu a) [mm] u_{1}*1 [/mm] + [mm] u_{3}*3 [/mm] ??
Ich hoffe mir kann Jemand helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
du musst hier zunächst die Eigenschaften des Skalarproduktes prüfen:
-Bilinearität
-Symmetrie
-pos. Definitheit
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mo 08.06.2009 | | Autor: | diemelli1 |
Leider kann ich mit den Begriffen nicht viel anfangen und finde im Skript + Buch nichts dazu. Vielleicht kannst du mir an einem Beispiel erklären wie ich was mache.
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Hallo diemelli1,
> Leider kann ich mit den Begriffen nicht viel anfangen und
> finde im Skript + Buch nichts dazu. Vielleicht kannst du
> mir an einem Beispiel erklären wie ich was mache.
Nee nee, das läuft andersherum.
Sag du mal, wie ihr "Skalarprodukt" definiert habt.
Das muss ja in der VL dran gewesen sein, wieso solltet ihr sonst diese Aufgabe bekommen?
Also zeige mal eure Definition her und versuche, die dort auftauchenden Eigenschaften auf die in der Aufgabe gegebenen Verknüpfungen zu übertragen ...
Poste eigene Ansätze, dann sehen wir weiter
LG
schachuzipus
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<u,v> = <v,u>
<u+v,w> = <u,w> + <v,w>
<cu,v> = c<u,v>
<u,v> = <v,u>
also müsste bei a) stehen
<u,v> = u1*1 + u3*3 ------ aber heißt es nicht <u,v>=u1v1+u2v2+u3v3 ??
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Hallo nochmal,
> <u,v> = <v,u> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist die Symmetrie
> <u+v,w> = <u,w> + <v,w>
Das ist ein Teil der Additivität, außerdem muss noch gelten [mm] $\langle u,v+w\rangle=\langle u,v\rangle+\langle u,w\rangle$
[/mm]
> <cu,v> = c<u,v>
Das ist die Linearität, mit dem obigen ist das die Bilinearität
Fehlt noch die positive Definitheit, dh. [mm] $\langle u,u\rangle\ge [/mm] 0$ und [mm] $\langle u,u\rangle=0\gdw [/mm] u=0$
> <u,v> = <v,u>
>
> also müsste bei a) stehen
>
> <u,v> = u1*1 + u3*3 ------ aber heißt es nicht
> <u,v>=u1v1+u2v2+u3v3 ??
Nicht ganz, mit [mm] $u=(u_1,u_2,u_3)$ [/mm] und [mm] $v=(v_1,v_2,v_3)$ [/mm] und der Def. von [mm] $\langle\bullet,\bullet\rangle$ [/mm] in a) ist doch
[mm] $\langle u,v\rangle=u_1v_1+u_3v_3$
[/mm]
Und das ist [mm] $=v_1u_1+v_3u_3$ [/mm] wegen der Kommutativität der Multiplikation in [mm] $\IR$
[/mm]
Und [mm] $v_1u_1+v_3u_3=\langle v,u\rangle$
[/mm]
Also ist [mm] $\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle$ [/mm] gezeigt, die verknüpfung in a) ist also schonmal symmetrisch
Nun gehe mal die anderen Punkte an ...
Wie sieht's mit der Additivität aus und der Linearität?
Das ist einfach nachzurechnen, setze nach Schema ein und forme um, analog wie bei der Symmetrie.
Dann überlege dir die Definitheit ...
Nun du wieder 
LG
schachuzipus
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