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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 So 19.12.2004 | | Autor: | Tito |
Hallo Matheraummitglieder und Gäste.
Ich habe Fragen zur folgenden Aufgabe:
Zeige, dass die Abbildung
<.,.>: M(n [mm] \times n,\IC) \times [/mm] M(n [mm] \times n,\IC) \to \IC
[/mm]
( [mm] A,B)\mapsto spur(A^T\overline{B})
[/mm]
ein Skalarprodukt auf der Menge der komplexen (n [mm] \times [/mm] n)- Matrizen ist.
Ich weiß nicht was ich zeige soll, damit die Aufgabe gelöst ist.
Muss ich zeigen das die Abbildung sesquilinear ist, oder liege ich völlig daneben?
Vielleicht kann mir jemand einen Denkanstoß geben.
Was ich bis jetzt überlegt habe: Sei A,B [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times n,\IC) [/mm] mit komplexen Einträgen [mm] A=(a_{jk}) [/mm] und [mm] B=(b_{jk}) [/mm] mit j=1,...,n und k=1,...,n, dann ist nach der Abbildungsvorschrift:
[mm] spur(A^T\overline{B})=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}a_{jk}\overline{b}_{jk}\in\IC
[/mm]
Ist dies korrekt, und hilft es mir bei der Lösung?
Ein weiteres Problem wäre die Konvention [mm] \overline{B}\in\IC, [/mm] ich hoffe es bedeutet, dass die Einträge der Matrix [mm] \overline{B}\in\IC [/mm] sind die konjungierten komplexen Einträge der Matrix [mm] B\in\IC.
[/mm]
Danke, Gruß
Tito
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Tito |
Erstmal mein Dank an Julius!!
Ok dann werde ich meine Lösung mal präsentieren:
1.) Seien A,B [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times n,\IC) [/mm] mit Einträgen [mm] A=a_{jk} [/mm] und [mm] B=b_{jk} [/mm] für j,k=1,...,n ,zz.: dann ist [mm] =\overline{}
[/mm]
Beweis:
[mm] =spur(A^T,\overline{B})=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}a_{jk}\overline{b_{jk}}=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}\overline{b_{jk}}a_{jk}=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}\overline{b_{jk}\overline{a_{jk}}}=\overline{\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}b_{jk}\overline{a_{jk}}}=\overline{spur(B^T,\overline{A})}=\overline{} [/mm] .
2.) Seien A,B,D [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n, [mm] \IC) [/mm] mit Einträgen [mm] A=a_{jk}, B=b_{jk}, D=d_{jk} [/mm] für j,k=1,...,n und [mm] \alpha,\beta \in \IC, [/mm] dann ist zz.: [mm] <\alpha A+\beta B,D>=\alpha+\beta
[/mm]
Beweis:
[mm] <\alpha A+\beta B,D>=spur((\alpha A+\beta B)^T\overline{D})
[/mm]
[mm] =\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}(\alpha a_{jk}+\beta b_{jk})\overline{d_{jk}}
[/mm]
[mm] =\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}(\alpha a_{jk}\overline{d_{jk}}+\beta b_{jk}\overline{d_{jk}})
[/mm]
[mm] =\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}\alpha a_{jk}\overline{d_{jk}}+\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}\beta b_{jk}\overline{d_{jk}}
[/mm]
[mm] =\alpha\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}a_{jk}\overline{d_{jk}}+\beta\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}b_{jk}\overline{d_{jk}}
[/mm]
[mm] =\alpha spur(A^T,\overline{D})+\beta spur(B^T,\overline{D})=\alpha +\beta [/mm] <B,D> .
3.) Sei [mm] A\in [/mm] M(n [mm] \times n,\IC) [/mm] mit Einträgen [mm] A=a_{jk} [/mm] für j,k=1,...,n
zz.: [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] <A,A>=0 [mm] \gdw [/mm] A=0 [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times n,\IC).
[/mm]
Beweis:
[mm] =\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}a_{jk}\overline{a_{jk}}=\summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}|a_{jk}|^2\ge [/mm] 0
Da [mm] |a_{jk}|^2=( \wurzel{((b+ic)(b-ic))} )^2 [/mm] (mit [mm] b,c\in\IR)
[/mm]
[mm] =(b^2+c^2)\in\IR_+\ge [/mm] 0 [mm] \forall b,c\in\IR
[/mm]
und
[mm] \summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n}|a_{jk}|^2=0 [/mm] genau dann, wenn [mm] a_{jk}=0 [/mm] für alle j,k=1,...,n und A ist dann die Nullmatrix. [mm] \Box
[/mm]
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