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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 So 26.11.2006 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | | Zeigen sie das die Norm [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel=|x_{1}|+|x_{2}| [/mm] im [mm] \IR^{n} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2 nicht von einem Skalarprodukt erzeugt ist. |
Hallo,
wenn die Norm also von einem Skalarprodukt erzeugt ist, muss ich nur überprüfen, ob die so definierte Norm die Parallelogrammgleichung erfüllt. Diese lautet: [mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel^{2}+ \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel^{2}=2(\parallel [/mm] x [mm] \parallel^{2}+\parallel [/mm] y [mm] \parallel^{2}). [/mm] Ich zeige dies für n=2 und mache dann Induktion. Und genau da liegt mein Problem, irgendwie finde ich nicht den richtigen Weg auch wenn es eigentlich ganz einfach erscheint.
Die Norm ist folgendermaßen definiert. [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel^{2}=x.x, [/mm] also die Norm zum Quadrat ist das Skalarprodukt des zugehörigen Vektors. Wenn nun meine Norm wie oben definiert ist, schreibe ich:
[mm] (|x_{1}|+|x_{2}|)^{2}+ [/mm] ( [mm] |x_{1}-x_{2}|)^{2}=|x_{1}|^{2}+2|x_{1}||x_{2}|+|x_{2}| ^{2}+|x_{1}|^{2}-2|x_{1}||x_{2}|+|x_{2}| ^{2}=2(|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2})
[/mm]
Somit ist die Parallelogrammgleichung erfüllt auch für die so definierte Norm, also muss ich wohl irgendetwas falsch gemacht haben, aber was.
Vielleicht kann mal jemand drüber schauen, dieses Problem ist irgendwie so einfach, aber irgendwie auch nicht.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 So 26.11.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
kann mir hier denn niemand helfen???
Ist die Aufgabe wirklich so schwierig?
Ich habe schon alles probiert, aber die Parallelogrammgleichung ist bei mir immer wieder erfüllt, also genau das Gegenteil von dem was ich zu zeigen habe.
Ich habe einfach keine Ahnung wieso???
Ich brauche bitte eine Antwort!
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 So 26.11.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo nochmal,
ist denn niemand da der diese Aufgabe nachprüfen kann??? Ich muss sie morgen abgeben und habe langsam keine Ideen mehr, was ich falsch mache!
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:43 Mo 27.11.2006 | | Autor: | clwoe |
Guten Morgen,
ich wollte nur mal nachfragen, ob jemand eine Idee hätte, was ich bei der Aufgabe falsch gemacht habe.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Mo 27.11.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Dominic!
> Zeigen sie das die Norm [mm]\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel=|x_{1}|+|x_{2}|[/mm] im [mm]\IR^{n}[/mm] für [mm]n\ge[/mm] 2 nicht von
> einem Skalarprodukt erzeugt ist.
> Hallo,
>
> wenn die Norm also von einem Skalarprodukt erzeugt ist,
> muss ich nur überprüfen, ob die so definierte Norm die
> Parallelogrammgleichung erfüllt. Diese lautet: [mm]\parallel[/mm]
> x+y [mm]\parallel^{2}+ \parallel[/mm] x-y [mm]\parallel^{2}=2(\parallel[/mm]
> x [mm]\parallel^{2}+\parallel[/mm] y [mm]\parallel^{2}).[/mm]
Ist nicht ||x+y|| = [mm] |x_{1} [/mm] + [mm] y_{1}| [/mm] + [mm] |x_{2} [/mm] + [mm] y_{2}| [/mm] usw. und reicht für eine Widerlegung nicht einfach ein Gegenbeispiel? Ich bin noch nicht voll im Thema und brauche noch etwas Zeit zum Warmdenken ....
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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