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Kann ein Skalarprodukt eine Supremums-Norm induzieren?
WICHTIG:
Im [mm] R^n [/mm] funktioniert das nicht. Aber gibt es andere Räume (Funktionenräume,...), bei denen das anders ist?
Kennt jemand ein Beispiel?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Di 28.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Kann ein Skalarprodukt eine Supremums-Norm induzieren?
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> WICHTIG:
> Im [mm]R^n[/mm] funktioniert das nicht. Aber gibt es andere Räume
> (Funktionenräume,...), bei denen das anders ist?
> Kennt jemand ein Beispiel?
Die Frage ist halt, was du so "allgemein" unter der Supremumsnorm verstehst  Insofern kann man deine Frage nicht exakt beantworten, aber ich kann dir Gruende nennen warum es wohl nicht geht.
Das Stichwort hier lautet ![[]](/images/popup.gif) Parallelogrammgleichung: genau dann ist eine Norm von einem Skalarprodukt induziert, falls diese Gleichung gilt.
In jedem Raum mit einer Art von Supremumsnorm sollte man damit sehr schnell Gegenbeispiele zu der Parallelogrammgleichung finden koennen. Hast du etwa zwei Vektoren $v, w$ mit [mm] $\|v\| [/mm] = [mm] \|w\| [/mm] = [mm] \|v [/mm] + [mm] w\| [/mm] = [mm] \|v [/mm] - [mm] w\|$, [/mm] so ist sie verletzt. Und solche Vektoren kannst du eigentlich immer finden, solange du einen mind. zweidimensionalen Raum hast.
Also bei den meisten mir bekannten Arten der Supremumsnorm ist das sehr einfach  Das einzige, wo es mir spontan nicht direkt ersichtlich ist, ist die Supremumsnorm bei holomorphen Funktionen, da diese recht "starr" sind (im Gegensatz zu [mm] $C^\infty$-Funktionen). [/mm] Aber selbst da kann man was finden: etwa bei den holomorphen Funktionen auf [mm] $B_1(0)$ [/mm] kann man $f(z) = z$, $g(z) = 1 - z$ waehlen: dann ist [mm] $\|f\| [/mm] = 1$, [mm] $\|g\| [/mm] = 2$, [mm] $\|f [/mm] + [mm] g\| [/mm] = 1$, [mm] $\|f [/mm] - [mm] g\| [/mm] = 2$. Das fuer beliebige Gebiete zu zeigen ist vermutlich etwas schwieriger, zumindest wenn man explizite Beispiele haben will, sollte aber auch gehen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Mi 05.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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