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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Skalare lineare Differentialgleichungen
Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung
t^2x'' + 5tx' + 13x = t ,
t > 0 . |
Hallo,
ich weiß hier nicht so recht wie ich da anfangen soll. Theoretisch muss ich ja die funktion von x irgendwie sustituieren, dann das ableiten und einsetzten, oder?
Sagen wir ich habe die funktion x(t) dann definiere ich t= [mm] e^y [/mm] zum beispiel das ableiten und einsetzten..
aber was mache ich mit dem inhomogenen teil t auf der rechten seite?
danke!
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Hallo cracker,
> Skalare lineare Differentialgleichungen
> Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der
> Differentialgleichung
> t^2x'' + 5tx' + 13x = t ,
> t > 0 .
> Hallo,
>
> ich weiß hier nicht so recht wie ich da anfangen soll.
> Theoretisch muss ich ja die funktion von x irgendwie
> sustituieren, dann das ableiten und einsetzten, oder?
Löse hier zunächst die homogene DGL:
[mm]t^2x'' + 5tx' + 13x = 0[/mm]
Setze dazu mit
[mm]x\left(t\right)=t^{r}[/mm]
an.
> Sagen wir ich habe die funktion x(t) dann definiere ich
> t= [mm]e^y[/mm] zum beispiel das ableiten und einsetzten..
> aber was mache ich mit dem inhomogenen teil t auf der
> rechten seite?
> danke!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
Habe jetzt die homoene lösung:
x(t) = A * [mm] t^{-2} [/mm] * cos (3*lnt) + B * [mm] t^{-2} [/mm] * sin(3*lnt)
was mache ich jetzt mit der inhomogenen?
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Hallo cracker,
> Habe jetzt die homoene lösung:
>
> x(t) = A * [mm]t^{-2}[/mm] * cos (3*lnt) + B * [mm]t^{-2}[/mm] * sin(3*lnt)
>
> was mache ich jetzt mit der inhomogenen?
>
Nun, Du kannst jetzt den Ansatz gemäß der Störfunktion machen,
um die partikuläre Lösung zu bestimmen.
Alternative, ist die Variation der Konstanten,
was hier zu mehr Rechenaufwand führt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
ist der ansatz gemäß der störfunktion das selbe wir der ansatz vom typ der rechten seite?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
ich versuche es jetzt mal mit der variation der konstanten, aber wie leite ich nochmal A(t)*t{-2}*cos(3lnt) ab?
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Hallo cracker,
> ich versuche es jetzt mal mit der variation der konstanten,
> aber wie leite ich nochmal A(t)*t{-2}*cos(3lnt) ab?
Hier wendest Du zunächst die Produktregel an.
Für den zweiten Ausdruck benötigst Du die Potenzregel.
Schliesslich wird für den letzten Ausdruck die Kettenregel benötigt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
Ah, hatte die produktregel für 3 terme nicht gekannt un jetzt gefunden, danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Sa 12.12.2009 | | Autor: | cracker |
puh, also mit variation der konstanten ist es echt aufwendig...wie mach ich das mit dem ansatz der rechten seite?
da muss ich doch das charakteristische polynom von w= s + ir berechnen
bei einer rechten seite: [mm] p_m(x) [/mm] * e^sx * cos(rx) + [mm] p_m(x)* [/mm] e^sx* sin(rx)
da wäre s=0, r=3 aber was mache ich mit dem lnt? da steht ja normalerweise im cos und sin nur zahl*x?
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Hallo cracker,
> puh, also mit variation der konstanten ist es echt
> aufwendig...wie mach ich das mit dem ansatz der rechten
> seite?
In Bezug auf diese DGL setzt Du an mit:
[mm]x_{p}\left(t\right)=A*t+B, \ A,B \in \IR[/mm]
> da muss ich doch das charakteristische polynom von w= s +
> ir berechnen
>
> bei einer rechten seite: [mm]p_m(x)[/mm] * e^sx * cos(rx) + [mm]p_m(x)*[/mm]
> e^sx* sin(rx)
>
> da wäre s=0, r=3 aber was mache ich mit dem lnt? da steht
> ja normalerweise im cos und sin nur zahl*x?
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:50 So 13.12.2009 | | Autor: | cracker |
Ich dachte man kann da nur bestimmte ansätze verwenden, aber habe es jetzt mal damit versucht:
[mm] x_p(t) [/mm] = At+B
[mm] x_p'(t) [/mm] = A
[mm] x_p''(t) [/mm] = 0
damit komme ich eingesetzt in DGL auf:
18 At + 13B = 0
und was mache ich jetzt? was passiert mit meiner substitution [mm] x(t)=t^r [/mm] ? die brauche ich dann nicht?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:25 So 13.12.2009 | | Autor: | cracker |
muss ich hier evtl diesen ansatz mit der [mm] t^r [/mm] gleichung gleichsetzten oder so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 So 13.12.2009 | | Autor: | cracker |
Oh, ich war vor lauter überlegen völlig blind:)..
einfach einsetzten und koeffizientenvergleich
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Hallo cracker,
> ist der ansatz gemäß der störfunktion das selbe wir der
> ansatz vom typ der rechten seite?
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
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