Sinusfunktion - 2 Lösungen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich will die Nullstellen der folgenden Funktion bestimmen
0=1+sin(x+2) |
x=arcsin(-1)-2=-92°
das wäre eine Lösung. Es soll bei einer sinusgleichung 2 Lösungen geben.
Wie bestimme ich die zweite Lösung? und wieso gibt es zwei Lösungen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 So 09.08.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mach dir mal am Einheitskreis kar, dass folgende Beziehungen gelten:
[mm] \sin(\alpha)=\sin(180-\alpha)
[/mm]
[mm] \cos(\alpha)=\cos(360-\alpha)
[/mm]
bzw im Bogenmaß
[mm] \sin(\alpha)=\sin(\pi-\alpha)
[/mm]
[mm] \cos(\alpha)=\cos(2\pi-\alpha)
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier also:
[mm] 0=1+\sin(x+2)
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow-1=\sin(x+2)
[/mm]
Sollst du nun im Gradmaß rechnen, bedenke, dass nur [mm] x=270^{\circ} [/mm] zu einem Sinuswert von -1 fürht, hier gibt es also nur eine Lösung, aus [mm] -1=\sin(x+2) [/mm] folgt nur, dass [mm] 270^{\circ}=x+2 [/mm] und das führt zu [mm] x=268^{\circ}
[/mm]
Im Bogenmaß (und die Variablenbezeichnung x deutet deher auf eine Rechnung im Bogenmaß hin, bekommst du die Lösung [mm] x=\frac{3}{2}\pi-2
[/mm]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 So 09.08.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Im Bogenmaß (und die Variablenbezeichnung x deutet deher
> auf eine Rechnung im Bogenmaß hin, bekommst du die Lösung
> [mm]x=\frac{3}{2}\pi-2[/mm]
>
Da das Argument in der Angabe x+2 und nicht x+2° lautet, ist definitiv die 2 als Winkel im Bogenmaß zu interpretieren. Es ist daher sinnvoll, auch die Lösung im Bogenmaß anzugeben. Andernfalls müsste 2 ins Gradmaß umgerechnet werden.
RMix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 So 09.08.2015 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Marius:
die Gleichung
[mm] $0=1+\sin(x+2) [/mm] $
hat in [mm] \IR [/mm] unendlich viele Lösungen. Welche ?
FRED
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> Ergänzend zu Marius:
>
> die Gleichung
>
> [mm]0=1+\sin(x+2)[/mm]
>
> hat in [mm]\IR[/mm] unendlich viele Lösungen. Welche ?
>
> FRED
n*360*[arcsin(-1)-2]
stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 So 09.08.2015 | | Autor: | M.Rex |
> > Ergänzend zu Marius:
> >
> > die Gleichung
> >
> > [mm]0=1+\sin(x+2)[/mm]
> >
> > hat in [mm]\IR[/mm] unendlich viele Lösungen. Welche ?
> >
> > FRED
>
>
> n*360*[arcsin(-1)-2]
>
> stimmt das?
Rechne besser im Bogenmaß.
Also, wie oben schon gesagt, da es im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] nur den Wert [mm] x=\frac{3}{2}\pi [/mm] gibt, bei dem gilt [mm] sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)=-1, [/mm] gibt es nur die Lösung [mm] x=\frac{3}{2}\pi [/mm] im Intervall [mm] [0;2\pi]
[/mm]
Beachtest du nun noch die -2, bekommst du [mm] x=\frac{3}{2}\pi-2
[/mm]
Nun ist der Sinus [mm] aber$2\pi$-periodisch, [/mm] also wiederholen sich die Lösungen alle [mm] 2\pi
[/mm]
Das führt zu den Lösungen
[mm] \left[\frac{3}{2}\pi-2\right]+k\cdot2\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ
[/mm]
Marius
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