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| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Funktionalgleichungen für Sinus und Kosinus die
folgenden Formeln für alle s [mm] \in \IR.
[/mm]
a) sin s = 2 sin [mm] \bruch{s}{2} [/mm] cos [mm] \bruch{s}{2} [/mm]
b) cos s = [mm] cos^{2} \bruch{s}{2} [/mm] − [mm] sin^{2} \bruch{s}{2}
[/mm]
Leiten Sie Formeln für sin(3s) und cos(3s) her. |
Nun ich hab keine Ahnung wie ich daran gehen muss. Für einige Tipps und Herangehensweisen wäre ich sehr dankbar. Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
nimm einfach die Funktionalgleichungen und setze für beide Variablen [mm] $\bruch{s}{2}$ [/mm] ein. Dann steht es fast genauso da wie gefordert.
Bei den 3s-Aufgaben musst du das 3s geeignet aufspalten und auch durch die Funktionalgleichungen jagen. Wenn du dann noch elementare Beziehungen wie [mm] $\sin^2 [/mm] x + [mm] \cos^2 [/mm] x = 1$ nutzt, dann kann nichts mehr schiefgehen.
Gruß
Martin
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Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
Also ich hab jetzt mal die [mm] \bruch{s}{2} [/mm] in die Funktionalgleichungen eingesetzt und bei cos s hab ich dies raus (was meiner Meinung zu stimmen scheint):
[mm] cos(\bruch{s}{2} [/mm] + [mm] \bruch{s}{2}) [/mm] = [mm] cos(\bruch{s}{2}) [/mm] * [mm] cos(\bruch{s}{2}) [/mm] - [mm] sin(\bruch{s}{2}) [/mm] * [mm] sin(\bruch{s}{2}) [/mm] = [mm] cos^{2}(\bruch{s}{2}) [/mm] - [mm] sin^{2}(\bruch{s}{2}).
[/mm]
Doch beim Sinus hab ich ne Denkblockade; da komme ich einfach nicht weiter bzw. habe eindeutig zu wenig wissen  . Da hab ich nämlich
[mm] sin(\bruch{s}{2} [/mm] + [mm] \bruch{s}{2}) [/mm] = [mm] sin(\bruch{s}{2}) [/mm] * [mm] cos(\bruch{s}{2}) [/mm] + [mm] cos(\bruch{s}{2}) [/mm] * [mm] sin(\bruch{s}{2}) [/mm] = ...
nur da komme ich schon nicht mehr weiter.Kann ich da irgenetwas zusammenziehen oder so ?
Und zu der 3s Aufgabe: Meintest du das ich einfach 3s in [mm] \bruch{3}{2}s +\bruch{3}{2}s [/mm] aufteile ? weil dort komme ch auch noch nicht weiter..aber ich versuch mich da nochmal.
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Hallo,
[mm] sin(\bruch{s}{2})*cos(\bruch{s}{2})+cos(\bruch{s}{2})*sin(\bruch{s}{2})
[/mm]
Vertausche vom 2. Summanden die Faktoren, dann zusammnenfassen, zu
[mm] 2*sin(\bruch{s}{2})*cos(\bruch{s}{2})
[/mm]
Steffi
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Oh mann....da war ich wohl nicht ganz bei mir.
na klar...thx
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Also ich hab jetzt die "3s-Aufgabe" auch gelöst und wollte nur noch nen Ok bekommen.
Also zu sin(3s) herleiten :
[mm] sin(\bruch{3}{2}s [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}s) [/mm]
= [mm] sin(\bruch{3}{2}s) [/mm] * [mm] cos(\bruch{3}{2}s) [/mm] + [mm] cos(\bruch{3}{2}s) [/mm] * [mm] sin(\bruch{3}{2}s)
[/mm]
= [mm] sin(\bruch{3}{2}s) [/mm] * [mm] cos(\bruch{3}{2}s) [/mm] + [mm] sin(\bruch{3}{2}s) [/mm] * [mm] cos(\bruch{3}{2}s)
[/mm]
= 2 * [mm] sin(\bruch{3}{2}s) [/mm] * [mm] cos(\bruch{3}{2}s)
[/mm]
= sin(3s)
und zu cos(3s) herleiten :
[mm] cos(\bruch{3}{2}s [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}s)
[/mm]
= [mm] cos(\bruch{3}{2}s) [/mm] * [mm] cos(\bruch{3}{2}s) [/mm] - [mm] sin(\bruch{3}{2}s) [/mm] * [mm] sin(\bruch{3}{2}s)
[/mm]
= [mm] cos^{2}(\bruch{3}{2}s) [/mm] - [mm] sin^{2}(\bruch{3}{2}s)
[/mm]
= 2 * [mm] cos^{2}(\bruch{3}{2}s) [/mm] - 1
= cos(3s)
Der letzte Schritt ist mir nicht ganz klar...habe im Inet nach den Umformungsregeln geschaut und es da so gefunden.
Wollte jetzt nur wissen ob das so Korrekt ist bzw. ob der letzte Schritt so aufgeschrieben werden kann.
Thanx!
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Hallo,
tut mir Leid, aber du hast die Aufgaben nicht gelöst. Was du machst, sieht so aus:
A = <einige Umformungsschritte> = A
Da kannst du aber genauso gut die Umformungsschritte weglassen.
Was eigentlich zu tun ist:
"Führe die Berchnung von [mm] $\sin [/mm] 3x und [mm] \cos [/mm] 3x$ auf die Berechnung von [mm] $\sin [/mm] x bzw. [mm] \cos [/mm] x$ zurück."
Das heißt, du musst das [mm] $\sin [/mm] 3x$so lange umformen, bis du nur noch den Sinus von x benötigst. Der kann allerdings in verschiedenen Potenzen stehen.
Tipp: Er kommt in der 1. und 3. Potenz vor.
Gleiches gilt für den Kosinus:
[mm] $\cos [/mm] 3x = <Umformungen> = [mm] f(\cos [/mm] x)$
> Der letzte Schritt ist mir nicht ganz klar...
Er ist ja auch falsch.
Gruß
Martin
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mmmh..also ich hab glaube ich deine Antwort nicht ganz verstanden...außer das meine Lösung falsch ist.
Also ich habe dann : sin(2s +s) =sin(2s) * cos(s) + cos(2s) * sin(s)
Aber jetzt komme ich schon dann nicht weiter..habe mal versucht wieder alles zu splitten aber dann muss ich wieder die Funktionalgleichung anwenden und komme wieder aufs alte Ergebnis zurück.
Also ich soll die Gleichung soweit immer wieder umstellen dass nachher nur noch sin in der ganzen Gleichung steht ?
Könntest du mir nen bisschen auf die Sprünge helfen ?
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Hallo,
> Also ich soll die Gleichung soweit immer wieder umstellen dass nachher nur noch sin in der ganzen Gleichung steht ?
Ja. Wie gesagt: Das steht dann etwas mit [mm] $\sin [/mm] x$ und [mm] $\sin^3 [/mm] x$.
> Aber jetzt komme ich schon dann nicht weiter..habe mal versucht wieder alles zu splitten aber dann muss ich wieder die Funktionalgleichung anwenden und komme wieder aufs alte Ergebnis zurück.
Auf die Ausdrücke mit $2s$ musst du die Funktionalgleichungen auf jeden Fall noch anwenden, so dass das $x$ nur noch ohne Koeffizient vorkommt.
Dann klammerst du [mm] $\sin [/mm] x$ aus und verwendest in der Klammer die Beziehung [mm] $\sin^2 [/mm] x + [mm] \cos^2 [/mm] x = 1$, so dass du auch den letzten Koninusausdruck wegbekommst.
Gruß
Martin
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So ich hab mir das dann nochmal alles durch den Kopf gehen lassen und hab ne Lösung und wollte sie mal reinstellen und fragen ob das so jetzt korrekt ist.
zu sin(3s):
sin(3s) = sin(2s+s) = sin(2s) * cos(s) + cos(2s) * sin(s)
= [ sin(s) * cos(s) +sin(s) * cos(s)] *cos(s) + [mm] [cos^{2}(s) [/mm] - [mm] sin^{2}(s)] [/mm] * sin(s)
= 2 * sin(s) * [mm] cos^{2}(s) [/mm] + [ [mm] (1-sin^{2}(s)) [/mm] - [mm] sin^{2}(s)] [/mm] -sin(s)
= 2 * sin(s) * [mm] (1-sin^{2}(s)) [/mm] + (1 - [mm] 2*sin^{2}(s)) [/mm] * sin(s)
= 2 * sin(s) - [mm] 2*sin^{3}(s) [/mm] + [mm] sin(s)-2*sin^{3}
[/mm]
= 3*sin(s) - [mm] 4*sin^{3}(s)
[/mm]
bei cos(3s) habe ich -3*cos(s) raus!
Wäre schön wenn jmd. mir Bescheid geben könnte ob das richtig ist.
Grüße Charlie
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Hallo,
genau so habe ich mir das vorgestellt. In der dritten Zeile hast du dich wohl vertippt: Das - soll wohl ein * sein.
> bei cos(3s) habe ich -3*cos(s) raus!
Nein, das wäre dann doch zu einfach. Tipp: Am Ende sollte [mm] $4\cos^3\alpha [/mm] - [mm] 3\cos\alpha$ [/mm] herauskommen.
Gruß
Martin
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Danke , dass du nochmal drüber geguckt hast..Hast mir sehr geholfen..und hab cos(3s) auch noch hinbekommen..
Gruß Charlie
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Hallo,
nein, ich meinte eher eine Aufteilung wie $3s = 2s + s$.
Gruß
Martin
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