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Sinus/Cosinus und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Sa 20.07.2013
Autor: Hero991

Aufgabe
1. Frage: [mm] a_n (1-\bruch{1}{n^2})^n [/mm]
2. Frage: [mm] b_n (n*cos(n*\pi)) [/mm]

Hallo,
ich habe meine Probleme mit der Berechnung von Sinus und Kosinus.

In der Musterlösung steht, dass [mm] b_n (n*cos(n*\pi)) [/mm]  divergent ist weil Für die Teilfolge der geraden Glieder (c_2n) gilt c_2n = 2n, d.h. diese Teilfolge divergiert, damit auch die ganze Folge.

Ich weiß aber immer noch nicht WARUM die Folge divergiert und wie ich, dass Beweisen könnte über eine Rechnung.

2. Frage: In der Musterlösung steht, dass lim [mm] (1-\bruch{1}{n^2})^n= [/mm] lim [mm] (1-\bruch{1}{n})^n [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{n})^n= \bruch{1}{e} [/mm] * e =1
Ich komme zwar auf auf lim [mm] a_n=1 [/mm] aber ich habe eine anderen Lösungsweg und wollte Fragen ob ich dabei richtig Vorgegangen bin.

Meine Lösung ist: [mm] lim(1-\bruch{1}{n^2})^n [/mm] , da [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] gegen 0 Konvengiert und 1 gegen sich selbst ist [mm] lim(1-\bruch{1}{n^2})^n [/mm] =  [mm] lim(1-0)^n=1 [/mm] - Richtig?

        
Bezug
Sinus/Cosinus und Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:40 Sa 20.07.2013
Autor: Richie1401

Hallo Hero,

> 1. Frage: [mm]a_n (1-\bruch{1}{n^2})^n[/mm]
>  2. Frage: [mm]b_n (n*cos(n*\pi))[/mm]
>  
> Hallo,
>  ich habe meine Probleme mit der Berechnung von Sinus und
> Kosinus.
>  
> In der Musterlösung steht, dass [mm]b_n (n*cos(n*\pi))[/mm]  
> divergent ist weil Für die Teilfolge der geraden Glieder
> (c_2n) gilt c_2n = 2n, d.h. diese Teilfolge divergiert,
> damit auch die ganze Folge.
>  
> Ich weiß aber immer noch nicht WARUM die Folge divergiert
> und wie ich, dass Beweisen könnte über eine Rechnung.

Naja, wir nehmen uns mal die Teilfolge mit den ganzen geraden Glieder.

Witzigerweise ist ja [mm] \cos(2n\pi)=1. [/mm] Und das für alle n.
Es bleibt also stehen: [mm] \lim_{n\to\infty}2n*\underbrace{\cos(2n\pi)}_{=1}=\lim_{n\to\infty}2n\longrightarrow \infty [/mm]

Das heißt mit wachsenden n geht die Folge gegen unendlich. Da ist es egal, was mit n=1,3,5,7,... passiert.

>  
> 2. Frage: In der Musterlösung steht, dass lim
> [mm](1-\bruch{1}{n^2})^n=[/mm] lim [mm](1-\bruch{1}{n})^n[/mm] *
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n= \bruch{1}{e}[/mm] * e =1
>  Ich komme zwar auf auf lim [mm]a_n=1[/mm] aber ich habe eine
> anderen Lösungsweg und wollte Fragen ob ich dabei richtig
> Vorgegangen bin.
>  
> Meine Lösung ist: [mm]lim(1-\bruch{1}{n^2})^n[/mm] , da
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] gegen 0 Konvengiert und 1 gegen sich selbst
> ist [mm]lim(1-\bruch{1}{n^2})^n[/mm] =  [mm]lim(1-0)^n=1[/mm] - Richtig?

Nein. so funktioniert das ganze nicht.

[mm] 1^\infty [/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck. Man kann darüber nix sagen.
gegenbeispiel für deine Argumentation findet man z.B. hier: [mm] a_n=(1+1/n)^n. [/mm]
Es gilt [mm] a_n\to{e}. [/mm]

Bei obiger Folge [mm] b_n [/mm] sollte man immer irgendwie mit der berühmten Folge für die eulersche Zahl arbeiten.

Grüße

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