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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 So 12.11.2006 | | Autor: | engel |
Hallo!
Ich hätte da mal ein paar (allgemeine) Fragen.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
1) x-> 1 - sin(x)
Das ist die Spiegelung an der x Achse und dann die Verschiebung um 1 nach oben. Muss man das einfach wissen oder kann man das irgendwie herleiten/beweisen?
2) f(x) = 2*sin(x)-1
Da gibt es ja 4 Nullstellen?
Wie kommt man da drauf?
2 * sin(x) - 1= 0
sin (x) = 0,5
Wie gehts dann weiter?
also würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet...
Danke!
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Hallo,
zu 1):
> Muss man das einfach wissen oder kann man das irgendwie
> herleiten/beweisen?
Es gilt allgemein für Funktionen $f(x)$, dass ein Vorzeichenwechsel eine Spiegelung an der x-Achse bewirkt. Also:
[mm] $f_{gespiegelt}(x) [/mm] = -f(x)$
Außerdem gilt ebenso allgemein, dass man durch Addition eines Wertes $c$ zu einer Funktion $f(x)$ diese Funktion um $c$ entlang der y-Achse verschiebt. Also ist:
[mm] $f_{verschoben}(x) [/mm] = f(x) + c$
nach oben verschoben, falls $c>0$, nach unten verschoben, falls $c<0$ und gar nicht verschoben, falls $c=0$.
In deinem Fall wurde beides kombiniert. Man hat die Sinusfunktion gespiegelt und dann nach oben verschoben.
Oder andersherum: Man hat deine Funktion zuerst nach unten verschoben und dann gespiegelt.
Beide Vorgehensweisen ergeben dasselbe Ergebnis.
zu 2)
> Da gibt es ja 4 Nullstellen?
Nein. Die Sinusfunktion ist periodisch, das heißt, sie wiederholt sich immer wieder bis ins Unendliche.
Hier nur ein endlicher Ausschnitt deiner Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also hat sie unendlich viele Nullstellen oder überhaupt keine (falls sie durch eine Verschiebung komplett über oder unter der x-Achse liegt). Keine Nullstellen hat so eine Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Man betrachtet aber gern nur einen Ausschnitt dieser Funktionen. Da die Sinusfunktion eine Periodenlänge (also die Länge, nach der sie sich wiederholt) von [mm] $2\pi$ [/mm] hat, betrachtet man meist das Intervall von 0 bis [mm] $2\pi$:
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
oder von [mm] $-\pi$ [/mm] bis [mm] $\pi$:
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
In beiden Fällen sieht man, dass deine Funktion innerhalb einer Periodenlänge nur zwei Nullstellen hat.
> sin (x) = 0,5
> Wie gehts dann weiter?
Nun benötigst du eine Umkehrfunktion zur Sinusfunktion, die Arkussinusfunktion (oder arcus sinus), kurz: [mm] $\arcsin(x)$.
[/mm]
Diese liefert dir immer nur eine Lösung, meist zwischen 0 und [mm] $\pi/2$.
[/mm]
Die anderen Lösungen musst du dann selbst bestimmen über besondere Beziehungen wie:
[mm] $\sin(\pi-x) [/mm] = [mm] \sin(x)$
[/mm]
und
[mm] $\sin(\pi+x) [/mm] = [mm] -\sin(x)$
[/mm]
Also erhalten wir für deine Gleichung folgende Lösungen im betrachteten Intervall [mm] $\left\[0;\2\pi\right\[$:
[/mm]
$x = [mm] \arcsin(0,5) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{6}$
[/mm]
und
$x = [mm] \pi-\arcsin(0,5) [/mm] = [mm] \bruch{5}{6}\pi$
[/mm]
Gruß
Martin
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 So 12.11.2006 | | Autor: | engel |
Vielen, vielen Dank für deine Antwort! Ich habs verstanden 
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