Sinn der Hauptraumzerlegung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:55 Mi 30.05.2007 | | Autor: | AriR |
Hey leute,
sei [mm] f:V\to [/mm] V V K-VR,
dann ist doch der Sinne der Hauptraumzerlgung einfach nur, V in möglichst kleine disjunkte f-invariante unterräume zu zerlegen, damit man eine darst. Matrix zu f finden kann, die möglichst viele 0en enthält oder?
würde man eine weiters Schema finden, V in kleine disjunkte f-invariante Unterräume zu zerlegen, wäre diese doch genau so bedeutend wie die Hauptraumzerlegung oder?
oder haben die Haupträume weitere eigenschaften, die von großer bedeutung sind, die andere zerlegungen vielleicht nicht zwigend haben ?
Gruß =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mi 30.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari!
> sei [mm]f:V\to[/mm] V V K-VR,
>
> dann ist doch der Sinne der Hauptraumzerlgung einfach nur,
> V in möglichst kleine disjunkte f-invariante unterräume zu
> zerlegen, damit man eine darst. Matrix zu f finden kann,
> die möglichst viele 0en enthält oder?
Ja, kann man so sehen :)
> würde man eine weiters Schema finden, V in kleine disjunkte
> f-invariante Unterräume zu zerlegen, wäre diese doch genau
> so bedeutend wie die Hauptraumzerlegung oder?
Prinzipiell ja.
> oder haben die Haupträume weitere eigenschaften, die von
> großer bedeutung sind, die andere zerlegungen vielleicht
> nicht zwigend haben ?
Genau: sind naemlich [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ [/mm] die Eigenwerte von $f$ und $V = [mm] \bigoplus_{i=1}^k [/mm] Hau(f, [mm] \lambda_i)$ [/mm] die Hauptraumzerlegung, und ist $W [mm] \subseteq [/mm] V$ ein beliebiger $f$-invarianter Untervektorraum von $V$, so gilt $W = [mm] \bigoplus_{i=1}^k [/mm] (Hau(f, [mm] \lambda_i) \cap [/mm] W)$.
Du kannst also jeden $f$-invarianten Untervektorraum $W [mm] \subseteq [/mm] V$ in Hauptraumkomponenten zerlegen.
Weiterhin ist die Hauptraumzerlegung die feinste Zerlegung mit dieser Eigenschaft: wenn du irgendeine andere $f$-invariante Zerlegung $V = [mm] \bigoplus_{i=1}^\ell W_\ell$ [/mm] von $V$ mit dieser Eigenschaft hast, dann ist jedes [mm] $W_\ell$ [/mm] eine direkte Summe von (einem oder mehreren) Hauptraeumen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Mi 30.05.2007 | | Autor: | AriR |
vielen dank schonmal für die antwort felix
gibt es zufällig irgendwo einen beweis dafür (im fischer oder so), dass die hauptraumzerlegung die feinste zerlegung in f-invariante unterräume ist? glaube das gerne, nur kann mir das gerade nicht so veranschaulichen.
angenommen es würde eine feinere zerlegung geben, dann würde man doch in der normalformtheorie diese zerlegung zugrunde legen und nicht mehr die hauptraumzerlegung oder?
danke nochmal und gruß ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Mi 30.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Ari
> vielen dank schonmal für die antwort felix
>
> gibt es zufällig irgendwo einen beweis dafür (im fischer
> oder so), dass die hauptraumzerlegung die feinste zerlegung
> in f-invariante unterräume ist? glaube das gerne, nur kann
> mir das gerade nicht so veranschaulichen.
Die feinste Zerlegung ist es nicht, aber die feinste mit der vorhin genannten `universellen Eigenschaft'.
Einen Beweis dazu habe ich noch nie gesehen, ich bin mir aber ziemlich sicher das es gilt :)
Zum Beweis kann man so vorgehen:
Wenn $V = [mm] \bigoplus_{i=1}^\ell W_i$ [/mm] eine solche Zerlegung mit dieser Eigenschaft ist, dann gilt $Hau(f, [mm] \lambda_i) [/mm] = [mm] \bigoplus_{j=1}^n (W_j \cap [/mm] Hau(f, [mm] \lambda_i))$. [/mm] Angenommen, es gibt zwei Indices $j, k$ mit $j [mm] \neq [/mm] k$ und mit [mm] $W_j \cap [/mm] Hau(f, [mm] \lambda_i) \neq [/mm] 0 [mm] \neq W_k \cap [/mm] Hau(f, [mm] \lambda_i)$. [/mm] (Wir versuchen zu zeigen, dass es nur einen solchen Index gibt, womit $Hau(f, [mm] \lambda_i)$ [/mm] komplett in [mm] $W_j$ [/mm] enthalten ist; daraus folgt dann mit der Eigenschaft der Hauptraeume, dass [mm] $W_j$ [/mm] direkte Summe von Hauptraumen ist.)
Nun enthalten sowohl [mm] $W_j$ [/mm] als auch [mm] $W_k$ [/mm] Eigenvektoren von $f$ zum Eigenwert [mm] $\lambda_i$ [/mm] (dies kann man so beweisen: ist $(A - [mm] \lambda_i id)^\ell [/mm] v = 0$ fuer $v [mm] \in W_j \cap [/mm] Hau(f, [mm] \lambda_i)$ [/mm] mit [mm] $\ell$ [/mm] minimal, so ist $v' := (A - [mm] \lambda_i id)^{\ell-1} [/mm] v [mm] \in [/mm] (Eig(f, [mm] \lambda_i) \cap W_j) \setminus \{ 0 \}$).
[/mm]
Sei $v [mm] \in W_j$ [/mm] und $w [mm] \in W_k$ [/mm] Eigenvektoren von $f$ zum Eigenwert [mm] $\lambda_i$. [/mm] Betrachte dann den $f$-invarianten Unterraum $W$, der von $v + w$ aufgespannt wird. (Dies ist der 1-dimensionale von $v + w$ erzeugte Untervektorraum von $V$, da $v + w$ wieder ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda_i$ [/mm] ist.)
Dann gilt ja $W = [mm] \bigoplus_{i=1}^\ell (W_i \cap [/mm] W)$. Allerdings gilt $W [mm] \subseteq W_j [/mm] + [mm] W_k$, [/mm] jedoch $W [mm] \cap W_j [/mm] = 0 = W [mm] \cap W_k$. [/mm] Somit bekommt man den Widerspruch $0 [mm] \neq [/mm] W = [mm] \bigoplus_{i=1}^\ell (W_i \cap [/mm] W) = 0$.
Also kann es oben nur einen solchen Index gegeben haben.
> angenommen es würde eine feinere zerlegung geben, dann
> würde man doch in der normalformtheorie diese zerlegung
> zugrunde legen und nicht mehr die hauptraumzerlegung oder?
Ja, das waere dann der Fall. (Aber das ist natuerlich kein Beweis  )
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Mi 30.05.2007 | | Autor: | AriR |
also ich glaube was mathe angeht, macht dir so schnell keiner was vor :D
dann mal wieder vielen dank für deine hilfe :)
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:07 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Zweifel |
Die feinste Zerlegung in invariante Unterräume ist im Allgemeinen nicht jene in die Haupträume, sondern jene in die Unterräume, die in der Jordan'schen Normalform von den Basisvektoren je eines Jordankästchen aufgespannt werden.
Die Anzahl invarianter Unterräume ist damit nicht die Anzahl der Haupträume (was immer mit der Anzahl der Eigenräume identisch ist), sondern die Summe der Dimensionen der Eigenräume.
Konkretes Gegenbeispiel:
[mm] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix} [/mm] hat Jordan'sche Normalform und zwei invariante Unterräume die von [mm]\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] einerseits und von [mm]\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}[/mm] sowie [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}[/mm] andererseits aufgespannt werden. Dies sind gerade der Hauptraum zum Eigenwert 1 und der Hauptraum zum Eigenwert 0.
[mm] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} [/mm] hat Jordan'sche Normalform und drei invariante Unterräume die von [mm]\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] einerseits, von [mm]\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}[/mm] andererseits und von [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}[/mm] letzterseits aufgespannt werden.
Die Haupträume sind jedoch noch die gleichen wie zuvor.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 20:14 Sa 17.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die feinste Zerlegung in invariante Unterräume ist im
> Allgemeinen nicht jene in die Haupträume, sondern jene in
> die Unterräume, die in der Jordan'schen Normalform von den
> Basisvektoren je eines Jordankästchen aufgespannt werden.
Vorsicht! Ich schrieb: "die feinste Zerlegung mit dieser Eigenschaft", und nicht einfach "die feinste Zerlegung"!
Die feinste Zerlegung gibt es im allgemeinen gar nicht, wie dein Gegenbeispiel zeigt:
> [mm]\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}[/mm] hat
> Jordan'sche Normalform und drei invariante Unterräume die
> von [mm]\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}[/mm] einerseits, von
> [mm]\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}[/mm] andererseits und von
> [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}[/mm] letzterseits
> aufgespannt werden.
> Die Haupträume sind jedoch noch die gleichen wie zuvor.
Hier kannst du sehr, sehr viele verschiedene feinste Zerlegungen finden, da du den Hauptraum zur 0 auf sehr viele verschiedene Arten als direkte Summe zweier eindimensionaler Untervektorraeume schreiben kannst.
Aber keine dieser Zerlegungen, auch deine nicht, erfuellt die von mir erwaehnte Eigenschaft.
LG Felix
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(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 02:04 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Zweifel |
Hallo und Danke für die Reaktion.
Dass es im Allgemeinen keine eindeutige feinste Zerlegung gibt, stimmt natürlich; eine nichtleere Menge der feinsten Zerlegungen gibt es (für nicht-null-dimensionale lineare Abbildungen) dagegen immer. Was ich zeigen wollte, war, dass die Hauptraumzerlegung, die ja eindeutig ist, nicht immer zu dieser Menge gehört.
Ich scheine diese fundamentale Eigenschaft der Hauptraumzerlegung irgendwie falsch zu verstehen. Damit meinst du doch, dass jeder [mm]f[/mm]-invariante Unterraum eine direkte Summe einer oder mehrerer Haupträume ist?
Nun ist doch genau dies für den von [mm]\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}[/mm] aufgespannten, bezüglich [mm]\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}[/mm] invarianten Unterraum meines Gegenbeispiels nicht der Fall; denn der Hauptraum zum Eigenwert 1 enthält diesen Unterraum gar nicht, der Hauptraum zum Eigenwert 0 umfasst dagegen auf Vektoren wie [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}[/mm], die nicht in diesem Unterraum liegen.
Und die erste Formulierung dieser fundamentalen Eigenschaft, [mm]W = \bigoplus_{i=1}^k (Hau(f, \lambda_i) \cap W)[/mm] von dir ist - soweit ich das sehe - nicht hauptraum-spezifisch, sondern für jede Zerlegung in disjunkte Untervektorräume erfüllt. Der Begriff Zerlegung impliziert doch, dass jeder Basisvektor einer beliebigen Basis von W in einem der Untervektorräume liegt. Die Untervektorräume [mm]Hau(f, \lambda_i) \cap W[/mm] von W werden ja jeweils durch die Basisvektoren aufgespannt, die gerade im jeweiligen Hauptraum liegen, und ergeben als direkte Summe wieder W. Dies funktioniert aber für jede Zerlegung und nicht nur für die Hauptraumzerlegung, da ja immer alle Basisvektoren aufgespannt und dann direkt summiert werden.
Habe ich hier eine fundamentale Fehlüberlegung gemacht?
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 07:18 Mo 19.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Zweifler!
> Dass es im Allgemeinen keine eindeutige feinste Zerlegung
> gibt, stimmt natürlich;
Es gibt uebrigens genau dann eine eindeutig bestimmte feinste Zerlegung, wenn das charakteristische Polynom gleich dem Minimalpolynom ist.
> eine nichtleere Menge der feinsten
> Zerlegungen gibt es (für nicht-null-dimensionale lineare
> Abbildungen) dagegen immer.
Es gibt sie sogar fuer null-dimensionale lineare Abbildungen, wenn du die leere Zerlegung (mit 0 Faktoren) des 0-dimensionalen Vektorraums mitzaehlst :)
> Was ich zeigen wollte, war, dass die Hauptraumzerlegung, die ja eindeutig ist,
> nicht immer zu dieser Menge gehört.
Das tut sie auch nicht.
> Ich scheine diese fundamentale Eigenschaft der
> Hauptraumzerlegung irgendwie falsch zu verstehen.
Ja
> Damit meinst du doch, dass jeder [mm]f[/mm]-invariante Unterraum eine
> direkte Summe einer oder mehrerer Haupträume ist?
Nein, eben nicht. Ich sage: wenn du einen $f$-invarianten Untervektorraum mit den einzelnen Hauptraeumen schneidest, und aus den Resten die direkte Summe bildest, dann bekommst du wieder den $f$-invarianten Untervektorraum.
Nehmen wir mal dein Beispiel:
> Nun ist doch genau dies für den von
> [mm]\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}[/mm] aufgespannten,
> bezüglich [mm]\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}[/mm]
> invarianten Unterraum meines Gegenbeispiels nicht der Fall;
> denn der Hauptraum zum Eigenwert 1 enthält diesen
> Unterraum gar nicht, der Hauptraum zum Eigenwert 0 umfasst
> dagegen auf Vektoren wie
> [mm]\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}[/mm], die nicht in diesem
> Unterraum liegen.
Genau.
> Und die erste Formulierung dieser fundamentalen
> Eigenschaft, [mm]W = \bigoplus_{i=1}^k (Hau(f, \lambda_i) \cap W)[/mm]
> von dir ist - soweit ich das sehe - nicht
> hauptraum-spezifisch, sondern für jede Zerlegung in
> disjunkte Untervektorräume erfüllt.
Nein, eben nicht: nehmen wir mal zum Eigenwert 0 die Unterraeume [mm] $U_1 [/mm] = [mm] \langle \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 } \rangle$ [/mm] und [mm] $U_2 [/mm] = [mm] \langle \vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 } \rangle$. [/mm] Dann ist [mm] $U_1 \oplus U_2$ [/mm] der Eigenraum zum Eigenwert 0.
Wenn du jetzt jedoch den invarianten UVR $W = [mm] \langle \vektor{ 0 \\ 1 \\ 1 } \rangle$ [/mm] betrachtest, dann ist $W [mm] \subseteq U_1 \oplus U_2$, [/mm] jedoch $W [mm] \cap U_1 [/mm] = [mm] \{ 0 \} [/mm] = W [mm] \cap U_2$, [/mm] es gilt also $(W [mm] \cap U_1) \oplus [/mm] (W [mm] \cap U_2) [/mm] = [mm] \{ 0 \} \subsetneqq [/mm] W$.
Wenn du jetzt aber anstelle [mm] $U_1, U_2$ [/mm] einfach den Hauptraum $U$ zum Eigenwert 0 (welcher hier gleich dem Eigenraum ist), dann gilt $U [mm] \cap [/mm] W = W$.
Wenn du jedoch $W = [mm] U_1$, [/mm] $W = [mm] U_2$ [/mm] oder $W = [mm] U_1 \oplus U_2$ [/mm] genommen haettest, dann wuerde $(W [mm] \cap U_1) \oplus [/mm] (W [mm] \cap U_2) [/mm] = W$ gelten.
> Der Begriff Zerlegung
> impliziert doch, dass jeder Basisvektor einer beliebigen
> Basis von W in einem der Untervektorräume liegt.
Nein, das ist bei den meisten Basen nicht der Fall. Das klappt nur bei manchen Basen und bei manchen Zerlegungen. (Siehe oben.)
> Die Untervektorräume [mm]Hau(f, \lambda_i) \cap W[/mm] von W werden ja
> jeweils durch die Basisvektoren aufgespannt, die gerade im
> jeweiligen Hauptraum liegen, und ergeben als direkte Summe
> wieder W. Dies funktioniert aber für jede Zerlegung und
> nicht nur für die Hauptraumzerlegung, da ja immer alle
> Basisvektoren aufgespannt und dann direkt summiert werden.
Nein, es haengt ganz stark von der gewaehlten Basis und der gewaehlten Zerlegung ab. Wenn du den Hauptraum als direkte Summe eindimensionaler Untervektorraeume [mm] $U_1, \dots, U_t$ [/mm] zerlegst, und einen UVR $W$ hast der nicht gerade in einem der eindimensionalen UVRs liegt, so kannst du immer eine Basis von $W$ waehlen, so dass keiner der Basisvektoren in irgendeinem der [mm] $U_i$ [/mm] liegt.
Ich hoffe es ist jetzt klarer 
LG Felix
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 22:37 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Zweifel |
Hallo Felix
Ja, ich glaube, mir ist es jetzt wirklich klar geworden und ich konnte auch den tadellosen Beweis oben vollständig nachvollziehen.
Ein Problem war, dass ich den Begriff "Hauptraumkomponenten" falsch verstanden habe; nämlich nicht also Teile der Haupträume, sondern als Kombination von Haupträumen.
Zudem bin ich irgendwie nicht auf die Idee gekommen, dass man aus zwei Basisvektoren eines Hauptraums ja einen weiteren [mm]f[/mm]-invarianten Untervektorraum konstruieren kann, der nur den Nullvektor mit den "Basisunterräumen" gemeinsam hat. Dies verhindert hier die fundamentale Eigenschaft; während bei Basisvektoren verschiedener Haupträume die Herstellung eines solchen neuen [mm]f[/mm]-invarianten Untervektorraums aufgrund der Multiplikation der Komponenten mit verschiedenen Eigenwerten nicht möglich ist.
"sei $ [mm] f:V\to [/mm] $ V V K-VR,
dann ist doch der Sinne der Hauptraumzerlgung einfach nur, V in möglichst kleine disjunkte f-invariante unterräume zu zerlegen, damit man eine darst. Matrix zu f finden kann, die möglichst viele 0en enthält oder?"
Somit kann man vielleicht hier noch etwas direkter widersprechen, da es ja - wie gezeigt - manchmal auch eine feinere Zerlegung in [mm]f[/mm]-invariante Untervektorräume gibt als die Hauptraumzerlegung...
"würde man eine weiters Schema finden, V in kleine disjunkte f-invariante Unterräume zu zerlegen, wäre diese doch genau so bedeutend wie die Hauptraumzerlegung oder? "
... und hier, da damit ja die beschriebene fundamentale Eigenschaft der Hauptraumzerlegung, wie du sie anschliessend beschreibst, verloren ginge.
Vielen Dank nochmals für deine geduldig-genauen Erklärungen, ich hoffe, du hast auch Freude daran. Vielleicht hilft die Diskussion ja ab und an jemandem mit einem ähnlichen Missverständnis ebenfalls weiter.
Freundliche Grüsse
Zweifler
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 02:52 Di 20.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Zweifler!
> Ja, ich glaube, mir ist es jetzt wirklich klar geworden und
> ich konnte auch den tadellosen Beweis oben vollständig
> nachvollziehen.
Gut :)
> "sei [mm]f:V\to[/mm] V V K-VR,
>
> dann ist doch der Sinne der Hauptraumzerlgung einfach nur,
> V in möglichst kleine disjunkte f-invariante unterräume
> zu zerlegen, damit man eine darst. Matrix zu f finden kann,
> die möglichst viele 0en enthält oder?"
>
>
> Somit kann man vielleicht hier noch etwas direkter
> widersprechen, da es ja - wie gezeigt - manchmal auch eine
> feinere Zerlegung in [mm]f[/mm]-invariante Untervektorräume gibt
> als die Hauptraumzerlegung...
Ja, das stimmt. Die Hauptraumzerlegung ist sozusagen der erste Schritt :)
> "würde man eine weiters Schema finden, V in kleine
> disjunkte f-invariante Unterräume zu zerlegen, wäre diese
> doch genau so bedeutend wie die Hauptraumzerlegung oder? "
>
> ... und hier, da damit ja die beschriebene fundamentale
> Eigenschaft der Hauptraumzerlegung, wie du sie
> anschliessend beschreibst, verloren ginge.
Genau. Und das disjunkt sollte man auch streichen, das stimmt bei Untervektorraeumen nie
> Vielen Dank nochmals für deine geduldig-genauen
> Erklärungen, ich hoffe, du hast auch Freude daran.
> Vielleicht hilft die Diskussion ja ab und an jemandem mit
> einem ähnlichen Missverständnis ebenfalls weiter.
Ja, ich hatte auch Freude dran. Frueher war die Hauptraum-Zerlegung fuer mich einfach ein technisches, absolut unanschauliches Hilfsmittel, um zur Jordanschen Normalform zu gelangen. Das hat sich mit der Zeit geaendert; neben einer "numerischen" Interpretation* hat mir die Zerlegung mit der "universellen" Eigenschaft am meisten fuer's Verstaendnis gebracht.
LG Felix
*Falls du die numerische Interpretation nicht kennst: nimmst du einen Vektor aus irgendeinem Hauptraum, bildest ihn mit der Matrix ab und normierst ihn, so bekommst du wieder einen Vektor im Hauptraum. Wenn du das ganz oft wiederholst, naehert sich der Vektor immer mehr einem Eigenvektor an zum gleichen Eigenwert an.
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