Singularitäten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 So 29.04.2012 | | Autor: | Lonpos |
| Aufgabe | Sei [mm] z_0 [/mm] eine isolierte Singularität von f. [mm] z_0\in N_f^{-} [/mm] (d.h [mm] existsz_n\not=z_0, f(z_n)=0)
[/mm]
=> [mm] z_0 [/mm] ist wesentliche Singularität |
f soll eine meromorphe Funktion [mm] f:G->\mathbb{C} [/mm] sein und [mm] N_f^{-} [/mm] bezeichnet den Abschluss der Menge der Nullstellen.
Wir haben in der VO bereits gezeigt, dass wenn f meromorph ist und [mm] f\not\equiv [/mm] 0 => Weder die Menge der Nullstellen noch die Menge der Pole hat Häufungspunkt in G.
Das muss ja nun heißen, dass [mm] z_0 [/mm] zumindest keine hebbare Singularität ist. Warum kann [mm] z_0 [/mm] kein Pol sein?
|
|
| |
|
> Sei [mm]z_0[/mm] eine isolierte Singularität von f. [mm]z_0\in N_f^{-}[/mm]
> (d.h [mm]existsz_n\not=z_0, f(z_n)=0)[/mm]
>
> => [mm]z_0[/mm] ist wesentliche Singularität
> f soll eine meromorphe Funktion [mm]f:G->\mathbb{C}[/mm] sein und
> [mm]N_f^{-}[/mm] bezeichnet den Abschluss der Menge der
> Nullstellen.
>
> Wir haben in der VO bereits gezeigt, dass wenn f meromorph
> ist und [mm]f\not\equiv[/mm] 0 => Weder die Menge der Nullstellen
> noch die Menge der Pole hat Häufungspunkt in G.
>
> Das muss ja nun heißen, dass [mm]z_0[/mm] zumindest keine hebbare
> Singularität ist. Warum kann [mm]z_0[/mm] kein Pol sein?
Pol würde bedeuten, dass [mm] (z-z_0)^n*f(z) [/mm] für ein n>0 in [mm] z_0 [/mm] holomorph fortsetzbar wäre.
Das lässt sich aber mit dem gleichen Argument wie oben ausschließen.
|
|
|
|
