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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Singularität, Laurentreihe
Singularität, Laurentreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Singularität, Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Mo 20.09.2010
Autor: Camille

Aufgabe
Finden Sie die Singularitäten der folgenden Funktionen und bestimmen Sie den Typ der Singularität. Geben Sie das jeweilige Residuum an.

c) [mm] f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}} [/mm]

Hallo zusammen!

Leider bereitet mir diese recht einfache Aufgabe doch Schwierigkeiten. Ich scheitere beim Versuch f in [mm] z_{0}=-1 [/mm] in eine Laurentreihe zu entwickeln.

[mm] f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}}=z^3*(1+z)^{-3} [/mm]

Was mache ich mit dem [mm] z^3 [/mm] ? Entschuldigt, ich stehe gerad' ein wenig auf dem Schlauch. Der Punkteverteilung nach müsste dies ganz simpel sein.

        
Bezug
Singularität, Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Mo 20.09.2010
Autor: MathePower

Hallo Camille,

> Finden Sie die Singularitäten der folgenden Funktionen und
> bestimmen Sie den Typ der Singularität. Geben Sie das
> jeweilige Residuum an.
>  
> c) [mm]f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}}[/mm]
>  Hallo zusammen!
>  
> Leider bereitet mir diese recht einfache Aufgabe doch
> Schwierigkeiten. Ich scheitere beim Versuch f in [mm]z_{0}=-1[/mm]
> in eine Laurentreihe zu entwickeln.
>  
> [mm]f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}}=z^3*(1+z)^{-3}[/mm]
>  
> Was mache ich mit dem [mm]z^3[/mm] ? Entschuldigt, ich stehe gerad'


Naheliegend ist z durch

[mm]\left(z+1\right)-1[/mm]

zu ersetzen.

Dann hast Du

[mm]f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}}=\bruch{\left( \ \left(z+1\right)-1 \right)^{3} }{\left(z+1\right)^{3}}[/mm]

Und jetzt noch auf dem Zähler den binomischen Satz anwenden.


> ein wenig auf dem Schlauch. Der Punkteverteilung nach
> müsste dies ganz simpel sein.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Singularität, Laurentreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Mo 20.09.2010
Autor: Camille

Binomischer Lehrsatz, aber klar, da hätte man auch alleine draufkommen können...

Ich dank' dir!



[mm] f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}}=\bruch{\left( \ \left(z+1\right)-1 \right)^{3} }{\left(z+1\right)^{3}}=\bruch{\summe_{k=0}^{3}\vektor{3 \\ k}(z+1)^{3-k}*(-1)^k}{(z+1)^3}=\summe_{k=0}^{3}(-1)^k*\vektor{3 \\ k}*(z+1)^{-k} [/mm]

[mm] \Rightarrow z_{0}=-1 [/mm] ist eine Polstelle 3. Ordnung und [mm] res_{-1}f=(-1)*\vektor{3 \\ 1}=-3 [/mm]

Ok so?

Bezug
                        
Bezug
Singularität, Laurentreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:27 Mo 20.09.2010
Autor: MathePower

Hallo Camille,


> Binomischer Lehrsatz, aber klar, da hätte man auch alleine
> draufkommen können...
>  
> Ich dank' dir!
>  
>
>
> [mm]f(z)=\bruch{z^{3}}{(1+z)^{3}}=\bruch{\left( \ \left(z+1\right)-1 \right)^{3} }{\left(z+1\right)^{3}}=\bruch{\summe_{k=0}^{3}\vektor{3 \\ k}(z+1)^{3-k}*(-1)^k}{(z+1)^3}=\summe_{k=0}^{3}(-1)^k*\vektor{3 \\ k}*(z+1)^{-k}[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow z_{0}=-1[/mm] ist eine Polstelle 3. Ordnung und
> [mm]res_{-1}f=(-1)*\vektor{3 \\ 1}=-3[/mm]
>  
> Ok so?


Ja.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Singularität, Laurentreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 Mo 20.09.2010
Autor: Camille

Wunderbar, danke nochmals für die schnelle Hilfe!

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