Sin/Cos-Funktion - Def.-Bereic < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 Do 24.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Guten Morgen,
ich habe gestern folgende Aufgabe erhalten und wundere mich etwas über die Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Sinus- und Cosinus-Funktion mittels der hier vorgegebenen Definitionen:
sin(x) := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
und
cos(x) := [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
Wie genau bestimme ich hier den Definitionsbereich? Schließlich sind die beiden Funktionen auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert. Wäre nett, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen könnte.
Viele Grüße
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Hallo Commotus!
Natürlich sind sowohl [mm] $\sin$ [/mm] als auch [mm] $\cos$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert - aber genau das sollst du ja hier zeigen! In deiner Vorlesung sind anscheinend Sinus und Cosinus über ihre Potenzreihen eingeführt worden. Habt ihr schon den Konvergenzradius eingeführt? Ansonsten versuch doch mal, diesen Reihen mit dem Quotientenkriterium zu Leibe zu rücken...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Do 24.11.2005 | | Autor: | Commotus |
In der Vorlesung hatten wir nur kurz die Exponentialreihe eingeführt bzw. sie einfach "nur" an die Tafel geschrieben. Wir hatten bislang folgende Konvergenzkriterien:
- notwendiges Konvergenzkriterium
- Majorantenkriterium
- Quotientenkriterium
- Leibnizsches Konvergenzkriterium
- Konvergenzkriterium für beschränkte Reihen
Wie genau soll ich hier nun vorgehen, was gilt es hinterher explizit zu zeigen, bzw. was sollte mein Ergebnis sein?
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Hallo!
Versuch doch mal, mit dem Quotientenkriterium an die Sinus-Reihe heranzugehen. Das sieht dann in etwa so aus:
[mm] $\limsup _{n\to\infty}\left|\bruch{\bruch{x^{2n+3}}{(2n+3)!}}{\bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\right|=\limsup_{n\to\infty}\left|\bruch{x^{2n+3}}{(2n+3)!}*\bruch{(2n+1)!}{x^{2n+1}}\right|$.
[/mm]
Jetzt kannst du untersuchen, für welche $x$ dieser Limes superior gegen einen Grenzwert kleiner 1 konvergiert. Für diese Werte konvergiert dann nach deinem Quotientenkriterium die Reihe...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Do 24.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Ich komme schließlich zu folgendem Ausdruck:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{4n^2+10n+6} [/mm] < 1
Bedeutet dies, dass x beliebig groß bzw. klein sein darf, sprich aus ganz [mm] \IR? [/mm] Wie schreibe ich dies am besten auf?
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Hallo!
> Ich komme schließlich zu folgendem Ausdruck:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{4n^2+10n+6}[/mm] < 1
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Sehr gut! Genau genommen gilt sogar [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{4n^2+10n+6}=0$.
[/mm]
>
> Bedeutet dies, dass x beliebig groß bzw. klein sein darf,
> sprich aus ganz [mm]\IR?[/mm] Wie schreibe ich dies am besten auf?
Du könntest z.B. schreiben:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{4n^2+10n+6}=0$ [/mm] für alle [mm] $x\in \IR$, [/mm] somit ist [mm] $\sin$ [/mm] nach dem Quotientenkriterium auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert.
Gruß, banachella
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