Signum einer Permutation < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | 1. Sei [mm] \Psi:=\{(i,j)\in\IN_{0}^{2} |i,j
Zeigen Sie, dass sich für [mm] \pi\in [/mm] Perm(p) das Signum wie folgt berechnen lässt:
[mm] \sigma(\pi)=(-1)^{n} [/mm] mit [mm] n:=#\{(i,j)\in \Phi | (\pi(i), \pi(j))\not\in \Phi \}
[/mm]
2. Sei f: Perm(p) [mm] \to \{-1,1\} [/mm] eine multiplikative Surjektion. Zeigen Sie, dass f das Signum ist. |
Zu 1: Kann man da irgendwie zeigen, dass sich [mm] \pi [/mm] als Produkt von n Transpositionen schreiben lässt? Wenn man die Transpositionen [mm] \tau_{(i,j)} [/mm] mit (i,j) in dieser Menge nimmt, ist dann [mm] \pi [/mm] gerade das Produkt all dieser Transpostionen? Wenn ja, warum?
Zu 2: Das Signum ist offensichtlich ein surjektiver Gruppenhomomorphismus auf [mm] \{-1,1\} [/mm] und f auch. Ist so einer eindeutig? Gilt folgendes:
Für alle Gruppen G existiert genau ein surjektiver Gruppenhomomorphismus auf [mm] \{-1,1\}?
[/mm]
Wenn ja, wie kann man diese Aussage beweisen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:48 So 17.01.2010 | | Autor: | Salamence |
Hilft für Aufgabe 1 vielleicht folgende Definition des Signums?
[mm] \sigma(\pi):=(-1)^{k} [/mm]
mit k:=# [mm] \Omega [/mm] und [mm] \Omega:=\{(i,j)\in \IN_{0}^{2} | i\pi(j)\}
[/mm]
Ach übrigens n ist natürlich die Kardinalität der Menge.
Kann man irgendwie zeigen, dass [mm] \Omega [/mm] und [mm] \Xi:=\{(i,j)\in \Phi | (\pi(i),\pi(j))\not\in \Phi \} [/mm] gleichmächtig sind? Das Problem ist, dass [mm] \Phi [/mm] so schwammig definiert ist. Es gibt ja mehrere davon. Wenn man sagt, dass [mm] \Phi [/mm] die geordneten Paare i<j enthält, so sind [mm] \Phi [/mm] und [mm] \Xi [/mm] auf jeden Fall identisch. Aber diese Beschränktheit der Allgemeinheit kann man ja nicht machen. Wie könnte man denn eine Bijektion zu einer Menge konstruieren, die man nicht wirklich kennt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 So 17.01.2010 | | Autor: | Salamence |
Kann man bei Aufgabe 2 vielleicht zeigen, dass der Kern vom Signum gleich dem Kern vom f ist? Dann wird ja der Rest alles auf -1 abgebildet und somit wären f und [mm] \sigma [/mm] gleich.
Doch wie stelle ich das an? Folgt das irgendwie aus der Multiplikativität, dass die gleich sind?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 21.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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