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| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] $sign(\tau\circ\sigma)$
[/mm]
[mm] \tau\circ\sigma=\pmat{ 1&2&3&4&5&6&7 \\ 1&2&4&3&7&5&6} [/mm] |
Das [mm] sign(\tau\circ\sigma) [/mm] ist doch [mm] =$(-1)^k$ [/mm] wobei $k$ die anzahl der Fehlstände ist.
Und ein Fehlstand ist ein Paar $(i,j)$ mit $i<j$ aber [mm] (\tau\circ\sigma)(i)>(\tau\circ\sigma)(j).
[/mm]
Da [mm] \tau\circ\sigma=(3,4)(5,7)(7,6), [/mm] ist die Anzahl der Fehlstände=2 und somit das $sign(...)=1$.
richtig'?
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Hi,
> Bestimmen Sie [mm]sign(\tau\circ\sigma)[/mm]
> [mm]\tau\circ\sigma=\pmat{ 1&2&3&4&5&6&7 \\ 1&2&4&3&7&5&6}[/mm]
>
> Das [mm]sign(\tau\circ\sigma)[/mm] ist doch =[mm](-1)^k[/mm] wobei [mm]k[/mm] die
> anzahl der Fehlstände ist.
>
> Und ein Fehlstand ist ein Paar [mm](i,j)[/mm] mit [mm]i
> [mm](\tau\circ\sigma)(i)>(\tau\circ\sigma)(j).[/mm]
Das wird auch häufig mit Inversion bezeichnet.
>
> Da [mm]\tau\circ\sigma=(3,4)(5,7)(7,6),[/mm]
> ist die Anzahl der Fehlstände=2 und somit das [mm]sign(...)=1[/mm].
>
> richtig'?
Nein, leider nicht.
Das ist doch eine Zerlegung in Transpositionen in Zyklenschreibweise. Das Vorzeichen einer Transposition ist -1 (es gibt genau ein vertauschtes Paar, dazwischen liegen evt noch Elemente, die aber mit den beiden vertauschten Elementen eine gerade Anzahl an Fehlständen produzieren). Da für das Vorzeichen einer Permutation gilt [mm] $sign(\sigma\tau)=sign(\sigma)\cdot sign(\tau)$, [/mm] ist das Vorzeichen also [mm] (-1)^N, [/mm] wobei N die Anzahl der Transpositionen in der Zerlegung ist. Bei dir ist N=3 ...
Gruß
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> Hi,
> > Bestimmen Sie [mm]sign(\tau\circ\sigma)[/mm]
> > [mm]\tau\circ\sigma=\pmat{ 1&2&3&4&5&6&7 \\ 1&2&4&3&7&5&6}[/mm]
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> >
> > Das [mm]sign(\tau\circ\sigma)[/mm] ist doch =[mm](-1)^k[/mm] wobei [mm]k[/mm] die
> > anzahl der Fehlstände ist.
> >
> > Und ein Fehlstand ist ein Paar [mm](i,j)[/mm] mit [mm]i
> > [mm](\tau\circ\sigma)(i)>(\tau\circ\sigma)(j).[/mm]
> Das wird auch häufig mit Inversion bezeichnet.
> >
> > Da [mm]\tau\circ\sigma=(3,4)(5,7)(7,6),[/mm]
> > ist die Anzahl der Fehlstände=2 und somit das
> [mm]sign(...)=1[/mm].
> >
> > richtig'?
> Nein, leider nicht.
> Das ist doch eine Zerlegung in Transpositionen in
> Zyklenschreibweise. Das Vorzeichen einer Transposition ist
> -1 (es gibt genau ein vertauschtes Paar, dazwischen liegen
> evt noch Elemente, die aber mit den beiden vertauschten
> Elementen eine gerade Anzahl an Fehlständen produzieren).
> Da für das Vorzeichen einer Permutation gilt
> [mm]sign(\sigma\tau)=sign(\sigma)\cdot sign(\tau)[/mm], ist das
> Vorzeichen also [mm](-1)^N,[/mm] wobei N die Anzahl der
> Transpositionen in der Zerlegung ist. Bei dir ist N=3 ...
Wie kommst Du auf drei?
Ich versteh das nicht? Es ist nur zweimal i<J und [mm] (\tau\circ\sigma)(i)>(\tau\circ\sigma)(j)>
[/mm]
nämlich
1. 3<4 und 4>3
2. 5<6 und 7>5
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> Gruß
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> > Hi,
> > > Bestimmen Sie [mm]sign(\tau\circ\sigma)[/mm]
> > > [mm]\tau\circ\sigma=\pmat{ 1&2&3&4&5&6&7 \\ 1&2&4&3&7&5&6}[/mm]
> Wie kommst Du auf drei?
einerseits Zerlegung in drei Transpositionen, andererseits schau dir die permutation oben mal an.
Da sind die Paare mit Fehlstand (3,4), (5,6) und (5,7). Das sind auch 3.
Gruß
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