Sigma Algebra, Extremalpunkte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Sa 17.04.2010 | | Autor: | Aquilera |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega [/mm] eine abzählbare Menge mit [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\Omega). [/mm] Sei M die Menge der Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf [mm] (\Omega, \mathcal{A}).
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass M konvex ist
b) Bestimmen sie die Extremalpunkte von M.
Hinweis: ein Element x einer konvexen Menge V heißt extremal, falls aus x=ty+(1-t)z mit t [mm] \in [/mm] (0,1) und x,y [mm] \in [/mm] V schon folgt, dass y=z=x.
c) ZEigen Sie, dass sich jedes [mm] \mathcal{P} \in [/mm] M als "Mischung" von Extremalpunkten darstellen lässt, d.h.
P = [mm] \summe_{i=1} \alpha_{i}P_{i} [/mm] wobei [mm] \alpha_{i}>=0, \summe_{i=1} \alpha_{i}=1 [/mm] und [mm] P_{i} [/mm] extremal |
Ich glaub, ich steh im Wald, ich weiß gar nicht, was diese Aufgabe von mir will und was sie mit Stochastik zu tun hat. Ausser dem Wort Wahrscheinlichkeitsverteilung finde ich hier nix stochastisches drin.
Hat jemand nen tip für mich, was ich hier tun soll und vor allem- was hat das denn mit Stochastik zu tun?
*verzweifeltgugg*
Susann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Sa 17.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich glaub, ich steh im Wald, ich weiß gar nicht, was
> diese Aufgabe von mir will und was sie mit Stochastik zu
> tun hat. Ausser dem Wort Wahrscheinlichkeitsverteilung
> finde ich hier nix stochastisches drin.
Ich schon. Was will man in der Stochastik? Man untersucht Verteilungen und ihre Eigenschaften - und das wird in der Aufgabe gemacht - man klassifiziert in dieser Aufgabe alle W'keit verteilungen auf abzählbaren Räumen! Und auf eine andere Art und Weise als man es wohl gewohnt ist - durch Extremalpunkte. Hört sich nett an, imo.
> Hat jemand nen tip für mich, was ich hier tun soll und vor
> allem- was hat das denn mit Stochastik zu tun?
Also, die Verteilungen sind Abbildungen, dh wenn du zwei Verteilungen a, b geg. hast, musst du zeigen, dass [m]t*a+(1-t)*b[/m] wieder eine Verteilung ist. Wodurch sind Verteilungen den charaktisiert? Was muss alles gelten?
Zum zweiten Teil: Betrachte mal für jedes [m]w\in\Omega[/m] das Maß des Punktes w: [m]x=(t*a+(1-t)*b)(w)[/m]. Wenn die Verteilung extremal ist, kann die sich ja nicht ändern für den Punkt - das solltest du dir erstmal klar machen, dass dies aus der Bedingung folgt. (Kann denn a oder b für w größere Werte als x annehmen?). So, jetzt überlege, wie du interpolieren kannst, wenn die Werte für einzelne Punkte nicht aus 0, 1 sind.
Zum dritten Teil: wenn dir klar ist, was die Extremalen sind, dann ist dies auch schnell gezeigt.
SEcki
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