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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 So 06.09.2009 | | Autor: | balisto |
| Aufgabe | a) Man betrachte die Potenzmenge der Familie aller endlichen Polynome. Ist diese eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf [mm] \Omega [/mm] = C(0,1)?
b) Man betrachte die Potenzmenge der Familie aller konvergenten Potenzreihen. Ist diese eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf [mm] \Omega [/mm] = C(0,1)?
c) Man betrachte die Familie all der Mengen, die aus Grenzwerten von Folgen rationaler Zahlen bestehen. Ist dies eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf [mm] \Omega [/mm] = C(0,1)? |
Hallo,
Leider bin ich hier etwas ratlos.
Um eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra A nachzuweisen, müsste ich ja zeigen:
1. die Grundmenge ist in A enthalten
2. A ist abgeschlossen bzgl. Komplementbildung und
3. A ist abgeschlossen bzgl. abzählbarer Vereinigung.
Ich versteh glaube die Aufgabenstellung nicht so ganz.
Bei a) hab ich ja die Potenzmenge der Familie aller endlichen Polynome. Ich nenne sie mal P.
Aber [mm] \Omega [/mm] ist ja nicht einmal eine Teilmenge von P. Immerhin gibt es stetige Funktionen, die keine Polynome sind. Man betrachte z.B. die Sinusfunktion.
Ich steh irgendwie auf dem Schlauch.
Wäre für Hilfe sehr dankbar!
MfG
balisto
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 So 06.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> a) Man betrachte die Potenzmenge der Familie aller
> endlichen Polynome. Ist diese eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra auf
> [mm]\Omega[/mm] = C(0,1)?
Was genau ist $C(0, 1)$? Die Menge der stetigen Funktionen $f : (0, 1) [mm] \to \IR$?
[/mm]
> b) Man betrachte die Potenzmenge der Familie aller
> konvergenten Potenzreihen. Ist diese eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra
> auf [mm]\Omega[/mm] = C(0,1)?
>
> c) Man betrachte die Familie all der Mengen, die aus
> Grenzwerten von Folgen rationaler Zahlen bestehen. Ist dies
> eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra auf [mm]\Omega[/mm] = C(0,1)?
> Hallo,
>
> Leider bin ich hier etwas ratlos.
> Um eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra A nachzuweisen, müsste ich ja
> zeigen:
> 1. die Grundmenge ist in A enthalten
> 2. A ist abgeschlossen bzgl. Komplementbildung und
> 3. A ist abgeschlossen bzgl. abzählbarer Vereinigung.
>
> Ich versteh glaube die Aufgabenstellung nicht so ganz.
>
> Bei a) hab ich ja die Potenzmenge der Familie aller
> endlichen Polynome. Ich nenne sie mal P.
> Aber [mm]\Omega[/mm] ist ja nicht einmal eine Teilmenge von P.
> Immerhin gibt es stetige Funktionen, die keine Polynome
> sind. Man betrachte z.B. die Sinusfunktion.
Genau, deswegen ist die Potenzmenge von $P$ keine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] $\Omega$. [/mm] Damit dies so waere muesste schon $P = C(0, 1)$ gelten.
Bei b) hsat du genau das gleiche Problem.
Und bei c) sind die Elemente der Familie keine Teilmengen von $C(0, 1)$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 So 06.09.2009 | | Autor: | balisto |
Ja, C(0,1) bezeichnet die Menge der stetigen Funktionen von (0,1) nach [mm] \IR.
[/mm]
Danke für die schnelle Antwort.
Hab's kapiert! (-:
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 So 06.09.2009 | | Autor: | balisto |
Hm... die b) ist mir doch noch nicht so ganz klar.
Eine konvergente Potenzreihe (ich gehe mal davon aus, dass konvergent hier Konvergenzradius [mm] \IR [/mm] meint) ist ja auf alle Fälle stetig.
Ist denn nicht jede stetige Funktion durch eine (konvergente) Potenzreihe darstellbar? Wenn nicht, was wäre ein Gegenbeispiel?
Danke nochmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 06.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hm... die b) ist mir doch noch nicht so ganz klar.
> Eine konvergente Potenzreihe (ich gehe mal davon aus, dass
> konvergent hier Konvergenzradius [mm]\IR[/mm] meint) ist ja auf alle
> Fälle stetig.
Ja.
> Ist denn nicht jede stetige Funktion durch eine
> (konvergente) Potenzreihe darstellbar? Wenn nicht, was
> wäre ein Gegenbeispiel?
Nun, durch Potenzreihen definierte Funktionen sind differenzierbar (sogar unendlich oft). Aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar -- da sollten dir jetzt selber ein paar Beispiele einfallen :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 So 06.09.2009 | | Autor: | balisto |
Ok, stimmt.
Endgültig gelöst! (-:
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