Sigma-Algebra der Borelmenge < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige, daß die folgenden Mengensysteme die sigma-Algebra der Borelmenge [mm] B(\IR) [/mm] erzeugen:
a) [mm] \{(-\infty,x):x\in \IR\}
[/mm]
b) [mm] \{(-\infty,x):x\in \IQ\} [/mm] wobei [mm] \IQ [/mm] die Mende der rationalen Zahlen bezeichnet
a) [mm] \{(-\infty,x):x\in D\} [/mm] D dicht in [mm] \IR [/mm] |
Nun ich sitze da schon eine Weile dran komm aber nicht wirklich voran, bisher sind meine Ideen daas ich zeigen muss das diese Mengensysteme Sigma-Algebren sind also das [mm] A\in [/mm] einer dieser Mengen und dann auch das komplement element ist was aber denke ich nicht wirklich geht wenn x=0 ist hat -1 kein Komplement. Kann mir da jemand weiterhelfen? Mit einem Ansatz, wie ich an die aufgaben rangehen muss? Danke
LG Siggi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Sa 17.11.2007 | | Autor: | SEcki |
> Man zeige, daß die folgenden Mengensysteme die
> sigma-Algebra der Borelmenge [mm]B(\IR)[/mm] erzeugen:
> a) [mm]\{(-\infty,x):x\in \IR\}[/mm]
> b) [mm]\{(-\infty,x):x\in \IQ\}[/mm]
> wobei [mm]\IQ[/mm] die Mende der rationalen Zahlen bezeichnet
> a) [mm]\{(-\infty,x):x\in D\}[/mm] D dicht in [mm]\IR[/mm]
> Nun ich sitze da schon eine Weile dran komm aber nicht
> wirklich voran, bisher sind meine Ideen daas ich zeigen
> muss das diese Mengensysteme Sigma-Algebren sind also das
> [mm]A\in[/mm] einer dieser Mengen und dann auch das komplement
> element ist
Dieser Ansatz ist auch (offensichtlich, zB bei a) ) falsch
> was aber denke ich nicht wirklich geht wenn x=0
> ist hat -1 kein Komplement.
Was? Da oben stehen erstmal Mengen. Was meinst du hier?
> Kann mir da jemand
> weiterhelfen? Mit einem Ansatz, wie ich an die aufgaben
> rangehen muss? Danke
Du musst zeigen, dass sie die Borel-Sigma-Algebra erzeugen, dazu: diese wird von allen offenen Mengen erzeugt. Noch ziemlich viel. Diese wird allerdings von allen offenen Intervallen [m](a,b)[/m] erezeugt - und zwar reichen abzählbarer Vereinigungen (Schon bekannt? wenn nicht, muss man das auch noch beweisen). Erster Schritt: solche Intervalle als abzählbarer Vereinigung / Schnitt von den Elementen in den Mengen von a), b), c) darstellen. Was bringt das? In der Sigma Algebra erezugt von diesen Mengen sind eben auch alle Mengen drin, die man durch Vereinigen etc pp erhalten kann. Man muss dann eigtl. auch noch zeigen, das die von a), b), c) erzeugten Sigma-Algebren nicht mehr Mengen entahlten kann als die Borel-Sigma-Algebra - aber das kann nicht sein, denn ...
SEcki
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> > was aber denke ich nicht wirklich geht wenn x=0
> > ist hat -1 kein Komplement.
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> Was? Da oben stehen erstmal Mengen. Was meinst du hier?
Naja ich habe mir gedacht wenn ich jetzt annehme das x=0 ist und die Definition einer Sigma Algebra ist das unteranderem wenn [mm] A\in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] A Komplement auch [mm] \in [/mm] M. Das Komplement von -1 wäre ja +1 und wenn x=0 ist Würde das Komplement von -1 nicht [mm] \in [/mm] der Menge sein
>Man muss dann eigtl. auch noch zeigen, das die von a), b), c) erzeugten >Sigma-Algebren nicht mehr Mengen entahlten kann als die Borel-Sigma-Algebra > aber das kann nicht sein, denn ...
Da die Vereinigung aller Mengen disjunkt sein muss und die Mengen von a),b) und c) Teilmengen von [mm] \IR [/mm] sind, richtig?
Danke
LG Siggi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 So 18.11.2007 | | Autor: | SEcki |
> > > was aber denke ich nicht wirklich geht wenn x=0
> > > ist hat -1 kein Komplement.
> >
> > Was? Da oben stehen erstmal Mengen. Was meinst du hier?
>
> Naja ich habe mir gedacht wenn ich jetzt annehme das x=0
> ist und die Definition einer Sigma Algebra ist das
> unteranderem wenn [mm]A\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] A Komplement auch [mm]\in[/mm]
> M.
Ja.
> Das Komplement von -1 wäre ja +1 und wenn x=0 ist Würde
> das Komplement von -1 nicht [mm]\in[/mm] der Menge sein
Ich verstehe kein Wort! -1 ist nicht das Komplement von 1, sondern das negative. Was hat das mit x=0 zu tun?
> >Man muss dann eigtl. auch noch zeigen, das die von a), b),
> c) erzeugten >Sigma-Algebren nicht mehr Mengen entahlten
> kann als die Borel-Sigma-Algebra > aber das kann nicht
> sein, denn ...
> Da die Vereinigung aller Mengen disjunkt sein muss und die
Nein, muss sie nicht.
> Mengen von a),b) und c) Teilmengen von [mm]\IR[/mm] sind, richtig?
Teilmengen ja, aber das ist klar gewesen.
SEcki
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