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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mi 23.10.2013 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | Sei M ein nicht leeres System von [mm] \sigma [/mm] - Algebren über X. Zeigen Sie, dass
[mm] \bigcap [/mm] M:= [mm] \bigcap_{\mathcal{A} \in M} \mathcal{A}
[/mm]
eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist. |
Hallo, 
es hapert bei mir leider folgendermaßen:
i) [mm] \emptyset \in \bigcap [/mm] M:
Da bin ich mir jetzt nicht sicher, was ich schreiben soll. Ist denn die leere Menge immer in einem Mengensystem [mm] \mathcal_{A} [/mm] (und somit auch im Schnitt) enthalten? Dann wäre das ja trivial
ii) A [mm] \in \bigcap [/mm] M [mm] \Rightarrow A^{C} \in \bigcap [/mm] M:
A [mm] \in \bigcap [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \in \bigcap_{\mathcal{A}\in M} \mathcal{A} [/mm] .
[mm] A^{C}=M \setminus [/mm] A , aber jetzt hapert es irgendwie. Weil ich nicht wirklich zeigen kann, dass [mm] A^{C} \in \bigcap_{\mathcal{A} \in M} \mathcal{A}... [/mm] :-(
iii) für jede Folge [mm] A_{k} \in \bigcap [/mm] M, k=1,2,..., gilt [mm] \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \in \bigcap [/mm] M:
Und hier habe ich irgendwie eine totale Denkblockade... :-(
Würde mich freuen, wenn mir jemand mit einem Tipp helfen könnte
LG,
DrRiese
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Hallo,
> Sei M ein nicht leeres System von [mm]\sigma[/mm] - Algebren über
> X. Zeigen Sie, dass
> [mm]\bigcap[/mm] M:= [mm]\bigcap_{\mathcal{A} \in M} \mathcal{A}[/mm]
> eine
> [mm]\sigma[/mm] - Algebra ist.
> Hallo,
> es hapert bei mir leider folgendermaßen:
>
> i) [mm]\emptyset \in \bigcap[/mm] M:
> Da bin ich mir jetzt nicht sicher, was ich schreiben soll.
> Ist denn die leere Menge immer in einem Mengensystem
> [mm]\mathcal_{A}[/mm] (und somit auch im Schnitt) enthalten? Dann
> wäre das ja trivial
Ja in der Tat, die Aussage ist ja nahezu logisch.
Schreiben könnte man es so:
Ich nehme hier $I$ als eine Indexmenge [mm] I=\{1,2,...,k\}
[/mm]
Wegen [mm] \emptyset\in\mathcal{A}_i, [/mm] für alle [mm] i\in [/mm] I ist [mm] \emptyset\in\bigcap_{i\in I}\mathcal{A}_i
[/mm]
>
> ii) A [mm]\in \bigcap[/mm] M [mm]\Rightarrow A^{C} \in \bigcap[/mm] M:
> A [mm]\in \bigcap[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\in \bigcap_{\mathcal{A}\in M} \mathcal{A}[/mm]
> .
> [mm]A^{C}=M \setminus[/mm] A , aber jetzt hapert es irgendwie. Weil
> ich nicht wirklich zeigen kann, dass [mm]A^{C} \in \bigcap_{\mathcal{A} \in M} \mathcal{A}...[/mm]
> :-(
Nunja, wir nehmen uns mal ein [mm] A\in\bigcap_{i\in I}\mathcal{A}_i. [/mm] Dann wissen wir, dass [mm] A\in\mathcal{A}_i [/mm] für jedes [mm] $i\in [/mm] I$. Damit ist weiter [mm] A^c\in\mathcal{A}_i, [/mm] also auch im Durchschnitt der [mm] \mathcal{A}_i
[/mm]
>
> iii) für jede Folge [mm]A_{k} \in \bigcap[/mm] M, k=1,2,..., gilt
> [mm]\bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \in \bigcap[/mm] M:
> Und hier habe ich irgendwie eine totale Denkblockade...
> :-(
Nimm dir mal eine Folge her, die im Durchschnitt der Algebren liegt. Was gilt dann mit der Folge in einer einzelnen [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}_i$ [/mm] ?
Im Prinzip ist es die gleiche Überlegung wie bei ii)
>
> Würde mich freuen, wenn mir jemand mit einem Tipp helfen
> könnte
>
> LG,
> DrRiese
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:09 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Richie1401!
> Ich nehme hier [mm]I[/mm] als eine Indexmenge [mm]I=\{1,2,...,k\}[/mm]
> Wegen [mm]\emptyset\in\mathcal{A}_i,[/mm] für alle [mm]i\in[/mm] I ist
> [mm]\emptyset\in\bigcap_{i\in I}\mathcal{A}_i[/mm]
Achtung: $M$ ist nicht als endlich vorausgesetzt.
(Die Einführung einer neuen Indexmenge ist gar nicht erforderlich. Alles lässt sich genauso gut mit der Menge $M$ formulieren.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:13 Do 24.10.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Guten Morgen Tobias,
auja, da hast du natürlich Recht. Argumente/Idee bleiben jedoch erst einmal bestehen. Über die Unendlichkeit muss man sicherlich noch einmal genauere Betrachtungen machen.
Indexmenge bot sich wegen der von mir irrtümlich angenommenen endlichen Menge $M$ an.
Danke für deinen Hinweis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:18 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> auja, da hast du natürlich Recht. Argumente/Idee bleiben
> jedoch erst einmal bestehen.
Ja.
> Über die Unendlichkeit muss
> man sicherlich noch einmal genauere Betrachtungen machen.
Eine Fallunterscheidung nach $M$ endlich/unendlich ist nicht nötig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:16 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DrRiese!
Kleine Spitzfindigkeit am Rande: Warum gilt überhaupt [mm] $\bigcap M\subseteq \mathcal{P}(X)$?
[/mm]
Hier benötigst du [mm] $M\not=\emptyset$.
[/mm]
[mm] ($M\not=\emptyset$ [/mm] brauchte man auch schon, damit [mm] $\bigcap [/mm] M$ überhaupt eine wohldefinierte Menge ist.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Fr 25.10.2013 | | Autor: | DrRiese |
Ah, vielen Dank
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