www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Maßtheorie" - Sigma-Algebra
Sigma-Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Sigma-Algebra: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 So 25.04.2010
Autor: chrissi2709

Aufgabe
Gib die [mm] \sigma [/mm] -Algebren [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] an, die von den gegebenen Mengensystemen A [mm] \subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] erzeugt werden.

1. [mm] \Omega [/mm] = {1,2,3,4}, [mm] \mathcal{A} [/mm] = {{1,2},{1,3}{1,4}}
2. [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IZ, \mathcal{A} [/mm] = {{-n,n} : n [mm] \in \IN} [/mm]
3. [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR, \mathcal{A} [/mm] = {[k,k+2] : k [mm] \in [/mm] N}
4. [mm] \Omega [/mm] sei beliebige überabzählbare Menge, [mm] \mathcal{A} [/mm] = {{x} : x [mm] \in \Omega} [/mm]
5. [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR, \mathcal{A} [/mm] = [mm] \mathcal{P}(\IQ) [/mm]
6. Gib in der Menge [mm] \Omega [/mm] = {1,2,3,4} zwei [mm] \sigma-Algebren \Sigma_1,\Sigma_2 \subset \mathcal{P}(\Omega) [/mm] an, so dass [mm] \Sigma_1 \cup \Sigma_2 [/mm] keine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist.

Hallo an alle,

zu 1. da würde ich sagen [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm] {1,2} , {1,3} , {1,4}}
zu 2. [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm] {-n,n}}
zu 3. 4. & 5. hab ich keine Ahnung
zu 6. [mm] \Sigma_1 [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm] {1,2},{3,4},{1},{2,3,4}} [mm] \Sigma_2 [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm] {1,3},{2,4},{2},{1,3,4}}
da {1} cup {2,4} = {1,2,4} liegt nicht in Vereinigung

stimmt das soweit und kann mir jemand zu 3-5 einen Tip geben?

schon mal vielen Dank

fg
Chrissi

        
Bezug
Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 So 25.04.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

Um diese Aufgaben zu lösen, müssen dir die drei Eigenschaften einer Sigma-Algebra wohlbekannt sein!
Wie lauten diese?

> zu 1. da würde ich sagen [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm]
> {1,2} , {1,3} , {1,4}}

Nein.
Schau mal: Ist [mm] \mathcal{A} [/mm] eine Sigma-Algebra, dann gilt:

[mm] $(A_{n})_{n\in\IN}\in\mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}, \bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}\in\mathcal{A}$ [/mm]

D.h. alle abzählbaren Vereinigungen und Schnitte von Elementen aus [mm] \mathcal{A} [/mm] müssen in [mm] \mathcal{A} [/mm] sein (Ebenso natürlich die Komplemente, siehe Definition)

---- HINWEIS: Bei mir ist bis jetzt [mm] \mathcal{A} [/mm] eine Sigma-Algebra gewesen - bei euch wird das als Erzeugendensystem bezeichnet, das werde ich AB jetzt einhalten ----

Das [mm] \sigma(\mathcal{A}), [/mm] was du angegeben hast, ist im Grunde erstmal nur die "Grundbedingung", nämlich dass alle Elemente des Erzeugendensystems in der erzeugten Sigma-Algebra sein müssen, und eben noch Omega und die leere Menge. Du musst nun überlegen, was deswegen noch alles drin liegt!

Beispiel:

[mm] $\{1,2\},\{1,3\}\in\sigma(\mathcal{A}) \Rightarrow \{1,2\}\cap\{1,3\} [/mm] = [mm] \{1\}\in\sigma(\mathcal{A})$ [/mm]

Hinweis: Zeige, dass alle einelementigen Mengen mit Elementen aus [mm] \Omega, [/mm] also [mm] \{1\},\{2\},\{3\},\{4\} [/mm] in der Sigma-Algebra enthalten sind! Daraus folgt, dass die ganze Potenzmenge von Omega die Sigma-Algebra ist (warum?)

>  zu 2. [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm] {-n,n}}

Hier genauso überlegen wie bei a).

>  zu 3. 4. & 5. hab ich keine Ahnung

Wieso nicht? Überlege dir zum Beispiel zu 3., wie die Schnitte von Elementen des Erzeugendensystems aussehen.
Was sind die "kleinsten" Mengen / Intervalle, die du erzeugen kannst?

Bei 4. solltest du dir überlegen, was für Elemente du mit abzählbaren Vereinigungen aus dem Erzeugendensystem bilden kannst. Das Ergebnis sieht womöglich so aus: [mm] \sigma(\mathcal{A}) [/mm] = [mm] \{A\subset\Omega|A\ abzaehlbar\ oder\ A^{c}\ abzaehlbar\}. [/mm] Wieso?

Auch zu 5.: Überlege dir, wie das gegebene Erzeugendensystem aussieht.

>  zu 6. [mm] \Sigma_1 [/mm] = { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm]
> {1,2},{3,4},{1},{2,3,4}} [mm] \Sigma_2= [/mm] { [mm] \Sigma, \emptyset, [/mm]
> {1,3},{2,4},{2},{1,3,4}}
>  da {1} cup {2,4} = {1,2,4} liegt nicht in Vereinigung

Nein, deine angegebenen Sigma-Algebren sind keine.
Arbeite hiermit: Benutze zwei Sigma-Algebren der Form

[mm] $\sigma_{1} [/mm] = [mm] \{\emptyset,A,A^{c},\Omega\}, sigma_{2} [/mm] = [mm] \{\emptyset,B,B^{c},\Omega\}$, [/mm]

(das sind welche!), und zeige, dass die Vereinigung der beiden keine Sigma-Algebra ist!
Zum Beispiel, indem du zeigst, dass die Vereinigung zweier Mengen nicht wieder enthalten ist.

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Sigma-Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Mo 26.04.2010
Autor: chrissi2709

Hallo

danke für die Antwort;

zu 6. wenn ich nun [mm] \SIgma_1 [/mm] = [mm] {\Omega, \emptyset, {1},{2},{3,4}} [/mm]
und [mm] \Sigma_2 [/mm] = [mm] {\Omega, \emptyset, {1,2},{3},{4}} [/mm] wähle, wär ja von {1} [mm] \cup [/mm] {3} = {1,3}, was ja nicht in Vereinigung liegt;

kann ich des so machen, oder is da immer noch was falsch?

Bezug
                        
Bezug
Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Mo 26.04.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Hallo
>  
> danke für die Antwort;
>  
> zu 6. wenn ich nun [mm]\Sigma_1[/mm] = [mm] \{\Omega, \emptyset, \{1\},\{2\},\{3,4\}\} [/mm]
>  
> und [mm]\Sigma_2[/mm] = [mm]\{\Omega, \emptyset, \{1,2\},\{3\},\{4\}\}[/mm] wähle,
> wär ja von {1} [mm]\cup[/mm] {3} = {1,3}, was ja nicht in
> Vereinigung liegt;
>  
> kann ich des so machen, oder is da immer noch was falsch?

Du hast meinen Hinweis immer noch nicht befolgt.
Deine angegebenen Mengensysteme sind keine [mm] \sigma- [/mm] Algebren. Bei der ersten müsste zum Beispiel wegen [mm] \{1\},\{2\}\in\Sigma_{1} [/mm] auch [mm] \{1\}\cup\{2\} [/mm] = [mm] \{1,2\}\in\Sigma_{1} [/mm] sein, ist es aber nicht.

[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4\}, [/mm]

nun nimm A  = [mm] \{1,2\} [/mm]
und B = [mm] \{1,3\}, [/mm]

mach' dir klar dass [mm] $\sigma_{1} [/mm] = [mm] \{\emptyset, A, A^{c}, \Omega\}$ [/mm] und [mm] $\sigma_{2} [/mm] = [mm] \{\emptyset, B, B^{c}, \Omega\}$ [/mm] Sigma-Algebren sind, aber deren Vereinigung nicht.

Grüße,
Stefan

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]