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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Do 16.10.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] $\Omega\neq\emptyset$.
[/mm]
Folgern Sie mit den Axiomen einer [mm] $\sigma$-Algebra:
[/mm]
[mm] I)$\emptyset\in [/mm] F$
II) [mm] $A,B\in F\Rightarrow A\cap [/mm] B, [mm] A\Delta [/mm] B, [mm] A\setminus [/mm] B$ sind in $F$
III) [mm] $A_1, A_2, ...\in F\Rightarrow \cap_{n\in\mathbb{N}}A_n\in [/mm] F$ |
Hi,
ich habe ein kleines Problem mit dieser Aufgabe.
I) war ganz leicht. Auch III) sollte ich hinbekommen haben.
So wie ich das sehe benötige ich für die Aussage über [mm] $A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus [/mm] A)$ zu erst, dass auch [mm] $A\setminus [/mm] B$ ist. Wenn ich das annehme kann ich es eigentlich recht leicht folgern.
Wo ich jedoch Probleme habe ist zu zeigen, dass
Wenn $A, [mm] B\in F\Rightarrow A\setminus B\in [/mm] F$
Also wenn $A$ und $B [mm] \in [/mm] F$ dann ist auch das jeweilige Komplement in F. Das man dies benötigt ist eigentlich klar, denn nur so bekommt man die Mengendifferenz ins Spiel. Allerdings weiß ich nicht so recht wie ich nun erreiche, dass ich [mm] $A\setminus [/mm] B$ habe.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Do 16.10.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin, [mm] $A\setminus B=A\cap\overline{B}$ [/mm] ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Do 16.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, also da [mm] $B\in [/mm] F$ ist auch [mm] $B^c\in [/mm] F$ und da wir ja schon wissen, dass der Schnitt von zwei Mengen wieder in der Sigma Algebra liegen ist dann auch
[mm] $A\cap B^c=A\cap(\Omega\setminus B)\in [/mm] F$
Somit [mm] $A\setminus B\in [/mm] F$
Dann hätte ich nun noch die Frage ob mein Beweis für [mm] $A\Delta [/mm] B$ korrekt ist.
Ich habe III) mit dem demorganschen Gesetz gefolgert. Das ist richtig, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Do 16.10.2014 | | Autor: | luis52 |
> Dann hätte ich nun noch die Frage ob mein Beweis für
> [mm]A\Delta B[/mm] korrekt ist.
>
> Ich habe III) mit dem demorganschen Gesetz gefolgert. Das
> ist richtig, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Do 16.10.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke für die Hilfe.
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