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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:38 Di 06.12.2016 | | Autor: | noglue |
| Aufgabe | Es sei X eine endliche Menge und es sei [mm] (A_j)_{j\in J} [/mm] ein Tupel von endlich vielen Teilemengen von X. Für [mm] k\ge [/mm] 0 sei
[mm] S_k:=\summe_{K\in P_k(J)}|\bigcap_{j\in K}^{}A_j|.
[/mm]
Zeigen Sie, dass
[mm] (-1)^{m-1}(\summe_{l=1}^m(-1)^{l-1}S_l-|\bigcup_{j\in J}^{}A_j|) \ge [/mm] 0 für [mm] m\ge0 [/mm] gilt. |
Hallo,
ich soll diese Aufgabe mit Induktion nach j lösen, aber weiß nicht so recht wo ich anfangen soll. ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
IA: j=1 also ist [mm] S_k:=\summe_{K\in P_k(J)}|\bigcap_{1\in K}^{}A_1|
[/mm]
und [mm] (-1)^{m-1}(\summe_{l=1}^m(-1)^{l-1}S_l-|\bigcup_{1\in J}^{}A_1|) \ge [/mm] 0
und wenn ich [mm] S_k [/mm] in die untere Formel einsetze erhalte ich folgendes:
[mm] (-1)^{m-1}(\summe_{l=1}^m(-1)^{l-1}\summe_{K\in P_k(J)}|\bigcap_{1\in K}^{}A_1|-|\bigcup_{1\in J}^{}A_1|)
[/mm]
der Schnitt bzw. Vereinigung von [mm] A_1 [/mm] ist [mm] A_1 [/mm] selber also bekomme ich
[mm] ...=0\ge [/mm] 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 08.12.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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