Separable Körpererweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]K = \IF_2(t)[/mm] und [mm]k = \IF_2(t^3)[/mm]. Beachte: [mm]K = k(t)[/mm] und [mm][K : k] = 3[/mm].
a) [mm]X^3-t^3 \in k[X][/mm] ist irreduzibel mit Zerfällungskörper [mm]K(\alpha )[/mm], wobei [mm]X^2+tX+t^2[/mm] das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] über K ist.
b) [mm]X^2 - t[/mm] ist irreduzibel in [mm]K(\alpha )[X][/mm].
c) Sei [mm]L=K (\beta )[/mm], wobei [mm]\beta[/mm] eine Nullstelle von [mm]X^2 - t[/mm] ist. Zeigen Sie: [mm]\beta[/mm] hat Minimalpolynom [mm]X^6 - t^3[/mm] über k, und [mm]k(\beta)/\beta[/mm] ist weder normal noch separabel. |
Ich habe a),b) glaube ich.
Nur bei der c) steht noch die Leere. Kann mir das einer bitte Erklären. Ich weiß, was normal und separabel ist. Doch das Gegenteil zu zeigen fällt mir schwer. Ich nehme an es wäre separabel dieses [mm]k(\beta)/\beta[/mm] das sollte soch heißen es hat keine mehrfachen Nullstellen. Bringt michd as weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 So 02.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]K = \IF_2(t)[/mm] und [mm]k = \IF_2(t^3)[/mm]. Beachte: [mm]K = k(t)[/mm] und
> [mm][K : k] = 3[/mm].
> a) [mm]X^3-t^3 \in k[X][/mm] ist irreduzibel mit
> Zerfällungskörper [mm]K(\alpha )[/mm], wobei [mm]X^2+tX+t^2[/mm] das
> Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm] über K ist.
> b) [mm]X^2 - t[/mm] ist irreduzibel in [mm]K(\alpha )[X][/mm].
> c) Sei [mm]L=K (\beta )[/mm], wobei [mm]\beta[/mm] eine Nullstelle von [mm]X^2 - t[/mm]
> ist. Zeigen Sie: [mm]\beta[/mm] hat Minimalpolynom [mm]X^6 - t^3[/mm] über
> k, und [mm]k(\beta)/\beta[/mm] ist weder normal noch separabel.
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> Ich habe a),b) glaube ich.
> Nur bei der c) steht noch die Leere. Kann mir das einer
> bitte Erklären. Ich weiß, was normal und separabel ist.
> Doch das Gegenteil zu zeigen fällt mir schwer. Ich nehme
> an es wäre separabel dieses [mm]k(\beta)/\beta[/mm] das sollte soch
> heißen es hat keine mehrfachen Nullstellen. Bringt michd
> as weiter?
Erstmal meinst du sicher [mm] $k(\beta) [/mm] / k$ und nicht [mm] $k(\beta) [/mm] / [mm] \beta$, [/mm] oder?
Ich nehme mal an, du hast dir schon ueberlegt dass das Minimalpolynom $f = [mm] X^6 [/mm] - [mm] t^3$ [/mm] ist.
Jetzt ist $f' = 6 [mm] \cdot X^5 [/mm] = 0$ (da Charakteristik 2). Damit haben $f$ und $f'$ einen gemeinsamen Teiler, womit $f$ mehrfache Nullstellen hat. Damit ist [mm] $k(\beta) [/mm] / k$ schonmal nicht separabel.
Das kann man auch expliziter machen: mache Polynomdivison, indem du [mm] $X^6 [/mm] - [mm] t^3$ [/mm] durch $(X - [mm] \beta)^2 [/mm] = [mm] X^2 [/mm] + [mm] \beta^2 [/mm] = [mm] X^2 [/mm] + t$ teilst (beachte, dass in [mm] $\IF_2$ [/mm] Minus gleich Plus ist). Du wirst sehen, dass dies aufgeht.
Um zu zeigen, dass es nicht normal ist, reicht es aus zu zeigen, dass [mm] $X^6 [/mm] - [mm] t^3$ [/mm] (was ja einen Linearfaktor ueber [mm] $k(\beta)$ [/mm] hat, naemlich $X - [mm] \beta$) [/mm] ueber [mm] $k(\beta)$ [/mm] nicht in Linearfaktoren zerfaellt. Dabei hilft dir sicher a) weiter.
LG Felix
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