Senkrechte Vektoren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Fr 10.07.2015 | | Autor: | newbie2 |
| Aufgabe | Die Vektoren c = a+b und d = λ1a+λ2b mögen senkrecht aufeinander stehen.
Welche Beziehung muß dann zwischen den Zahlen λ1 und λ2 bestehen? |
Zwischen den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] muss ja gelten:
[mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] = 0
Demnach schließe ich, dass [mm] \lambda1 [/mm] und [mm] \lambda2 [/mm] linear abhängig sein müssen, stimmt das?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Fr 10.07.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Die Vektoren c = a+b und d = λ1a+λ2b mögen
> senkrecht aufeinander stehen.
> Welche Beziehung muß dann zwischen den Zahlen λ1 und λ2
> bestehen?
> Zwischen den Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] muss ja gelten:
> [mm]\vec{a}*\vec{b}[/mm] = 0
>
> Demnach schließe ich, dass [mm]\lambda1[/mm] und [mm]\lambda2[/mm] linear
> abhängig sein müssen, stimmt das?
Zwei Zahlen [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] können nicht linear abhängig sein.
Rechne mal das Skalarprodukt [mm] \vec{c}\cdot\vec{d}=0 [/mm] mal konkret aus, also:
[mm] (\vec{a}+\vec{b})\cdot(\lambda_{1}\cdot\vec{a}+\lambda_{2}\cdot\vec{b})=0
[/mm]
Vereinfache mal die Linke Seite weitestgehend, und versuche dann den Zusammenhang zwischen [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] zu finden.
>
> Danke
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Fr 10.07.2015 | | Autor: | newbie2 |
[mm] \lambda1 \vec{a}^2 *\lambda2 \vec{a} \vec{b}* \lambda1 \vec{a} \vec{b} *\lambda2 \vec{b}^2 [/mm] = 0
Okay... ich glaube, ich stehe ziemlich auf dem Schlauch, denn ich sehe da nichts. ^^"
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 10.07.2015 | | Autor: | newbie2 |
Oh, natürlich mit + und nicht mit *. Mein Fehler.
Nein, es ist nichts angegeben, außer dem, was ich in der Aufgabenstellung erwähnt habe.
Nur diese allgemeine Formulierung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Fr 10.07.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Oh, natürlich mit + und nicht mit *. Mein Fehler.
Kein Ding, das kann passieren 
>
> Nein, es ist nichts angegeben, außer dem, was ich in der
> Aufgabenstellung erwähnt habe.
> Nur diese allgemeine Formulierung.
Ok, was vielleicht noch hilft, ist dass [mm] (\vec{x})^{2}=|\vec{x}|
[/mm]
Damit wird
[mm] \lambda_{1}\cdot(\vec{a})^{2}+(\lambda_{1}+\lambda_{2})\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}+\lambda_{2}\cdot(\vec{b})^{2}=0
[/mm]
zu
[mm] \lambda_{1}\cdot|\vec{a}|+(\lambda_{1}+\lambda_{2})\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}+\lambda_{2}\cdot|\vec{b}|=0
[/mm]
Und das wird zu
[mm] \lambda_{1}\cdot|\vec{a}|+\lambda_{2}\cdot|\vec{b}|=-(\lambda_{1}+\lambda_{2})\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}
[/mm]
Nutze nun noch, dass
[mm] \vec{a}=\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}
[/mm]
und
[mm] \vec{b}=\vektor{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}}
[/mm]
Dann bekommst du
[mm] \lambda_{1}\cdot\left|\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}\right|+\lambda_{2}\cdot\left|\vektor{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}}\right|=-(\lambda_{1}+\lambda_{2})\cdot\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}\cdot\vektor{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}}
[/mm]
Und das wird zu
[mm] \lambda_{1}\cdot\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}+\lambda_{2}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}=-(\lambda_{1}+\lambda_{2})\cdot(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})
[/mm]
Nun hatte ich eine Vermutung, dass sich irgendetwas herauskürzen könnte, was es aber nicht tut (oder was ich gerade nicht sehe), aber vielleicht hilft das ganze ja trotzdem weiter, daher lasse ich die Antwort mal stehen, setze aber die Frage noch auf unbeantwortet.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Fr 10.07.2015 | | Autor: | weduwe |
hübsch ist doch das Verhältnis
[mm] \frac{\lambda_1}{\lambda_2}=-\frac{\vec{b}\cdot(\vec{a}+\vec{b})}{\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})}
[/mm]
anzuschauen 
("." kennzeichnet ein Skalarprodukt)
(da könnte man dann eventuell noch gucken, was für [mm] \vec{a}=\vec{b} [/mm] herauskommt)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:58 Sa 11.07.2015 | | Autor: | newbie2 |
Okay, aber was sagt mir denn dieses Verhältnis genau?
Wie hängen [mm] \lambda1 [/mm] und [mm] \lambda [/mm] 2 denn nun voneinander ab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:28 Sa 11.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Okay, aber was sagt mir denn dieses Verhältnis genau?
> Wie hängen [mm]\lambda1[/mm] und [mm]\lambda[/mm] 2 denn nun voneinander
> ab?
So:
$ [mm] \frac{\lambda_1}{\lambda_2}=-\frac{\vec{b}\cdot(\vec{a}+\vec{b})}{\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Sa 11.07.2015 | | Autor: | newbie2 |
Das ist alles?
Man muss quasi "nur" ein mathematisches Verhältnis angeben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Sa 11.07.2015 | | Autor: | M.Rex |
> Das ist alles?
> Man muss quasi "nur" ein mathematisches Verhältnis
> angeben?
Ja, und dieses Verhältnis ist natürlich von den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] abhängig.
Marius
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> > Zwischen den Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] muss ja gelten:
> > [mm]\vec{a}*\vec{b}[/mm] = 0
> > Demnach schließe ich, dass [mm]\lambda1[/mm] und [mm]\lambda2[/mm]
> > linear abhängig sein müssen, stimmt das?
>
> Zwei Zahlen [mm]\lambda_{1}[/mm] und [mm]\lambda_{2}[/mm] können nicht
> linear abhängig sein. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Hallo Marius,
das sehe ich anders: zwei reelle Zahlen sind stets linear
abhängig. Man kann sie ja z.B. auch als Vektoren im Vektor-
raum [mm] \IR^1 [/mm] betrachten !
Liebe Grüße
Al
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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