www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Vektoren" - Senkrechte Vektoren
Senkrechte Vektoren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Vektoren"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Senkrechte Vektoren: Wert Lambda
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Fr 10.07.2015
Autor: newbie2

Aufgabe
Die Vektoren c = a+b und d = λ1a+λ2b mögen senkrecht aufeinander stehen.
Welche Beziehung muß dann zwischen den Zahlen λ1 und λ2 bestehen?

Zwischen den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] muss ja gelten:
[mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] = 0

Demnach schließe ich, dass [mm] \lambda1 [/mm] und [mm] \lambda2 [/mm] linear abhängig sein müssen, stimmt das?

Danke



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Senkrechte Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Fr 10.07.2015
Autor: M.Rex

Hallo

> Die Vektoren c = a+b und d = λ1a+λ2b mögen
> senkrecht aufeinander stehen.
> Welche Beziehung muß dann zwischen den Zahlen λ1 und λ2
> bestehen?
> Zwischen den Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] muss ja gelten:
> [mm]\vec{a}*\vec{b}[/mm] = 0

>

> Demnach schließe ich, dass [mm]\lambda1[/mm] und [mm]\lambda2[/mm] linear
> abhängig sein müssen, stimmt das?

Zwei Zahlen [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] können nicht linear abhängig sein.

Rechne mal das Skalarprodukt [mm] \vec{c}\cdot\vec{d}=0 [/mm] mal konkret aus, also:

[mm] (\vec{a}+\vec{b})\cdot(\lambda_{1}\cdot\vec{a}+\lambda_{2}\cdot\vec{b})=0 [/mm]

Vereinfache mal die Linke Seite weitestgehend, und versuche dann den Zusammenhang zwischen [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] zu finden.

>

> Danke

>

Marius

Bezug
                
Bezug
Senkrechte Vektoren: Also
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Fr 10.07.2015
Autor: newbie2

[mm] \lambda1 \vec{a}^2 *\lambda2 \vec{a} \vec{b}* \lambda1 \vec{a} \vec{b} *\lambda2 \vec{b}^2 [/mm] = 0

Okay... ich glaube, ich stehe ziemlich auf dem Schlauch, denn ich sehe da nichts. ^^"

Bezug
                        
Bezug
Senkrechte Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Fr 10.07.2015
Autor: M.Rex

Hallo, und ich vergass eben [willkommenmr]


> [mm]\lambda1 \vec{a}^2 *\lambda2 \vec{a} \vec{b}* \lambda1 \vec{a} \vec{b} *\lambda2 \vec{b}^2[/mm]
> = 0

>

> Okay... ich glaube, ich stehe ziemlich auf dem Schlauch,
> denn ich sehe da nichts. ^^"


Das stimmt ja auch nicht.


Es gilt, nach den []Rechenregeln für Skalarprodukte
[mm](\vec{a}+\vec{b})\cdot(\lambda_{1}\cdot\vec{a}+\lambda_{2}\cdot\vec{b})=0[/mm]

[mm]\Leftrightarrow\vec{a}\cdot(\lambda_{1}\cdot\vec{a})+\vec{b}\cdot(\lambda_{1}\cdot\vec{a})+\vec{b}\cdot(\lambda_{2}\cdot\vec{a})+\vec{b}\cdot(\lambda_{2}\cdot\vec{b})=0[/mm]

[mm] $\Leftrightarrow\lambda_{1}\cdot(\vec{a})^{2}+(\lambda_{1}+\lambda_{2})\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}+\lambda_{2}\cdot(\vec{b})^{2}=0$ [/mm]

Ist etwas über die Längen der Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] angegeben, oder über die Lage der beiden Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] zueinander?

Marius

Bezug
                                
Bezug
Senkrechte Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Fr 10.07.2015
Autor: newbie2

Oh, natürlich mit + und nicht mit *. Mein Fehler.

Nein, es ist nichts angegeben, außer dem, was ich in der Aufgabenstellung erwähnt habe.
Nur diese allgemeine Formulierung.

Bezug
                                        
Bezug
Senkrechte Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Fr 10.07.2015
Autor: M.Rex

Hallo

> Oh, natürlich mit + und nicht mit *. Mein Fehler.

Kein Ding, das kann passieren ;-)
>

> Nein, es ist nichts angegeben, außer dem, was ich in der
> Aufgabenstellung erwähnt habe.
> Nur diese allgemeine Formulierung.

Ok, was vielleicht noch hilft, ist dass [mm] (\vec{x})^{2}=|\vec{x}| [/mm]

Damit wird

[mm] \lambda_{1}\cdot(\vec{a})^{2}+(\lambda_{1}+\lambda_{2})\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}+\lambda_{2}\cdot(\vec{b})^{2}=0 [/mm]

zu
[mm] \lambda_{1}\cdot|\vec{a}|+(\lambda_{1}+\lambda_{2})\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}+\lambda_{2}\cdot|\vec{b}|=0 [/mm]

Und das wird zu
[mm] \lambda_{1}\cdot|\vec{a}|+\lambda_{2}\cdot|\vec{b}|=-(\lambda_{1}+\lambda_{2})\cdot\vec{a}\cdot\vec{b} [/mm]

Nutze nun noch, dass
[mm] \vec{a}=\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}} [/mm]
und
[mm] \vec{b}=\vektor{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}} [/mm]

Dann bekommst du
[mm] \lambda_{1}\cdot\left|\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}\right|+\lambda_{2}\cdot\left|\vektor{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}}\right|=-(\lambda_{1}+\lambda_{2})\cdot\vektor{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}\cdot\vektor{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}} [/mm]

Und das wird zu
[mm] \lambda_{1}\cdot\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}+\lambda_{2}\cdot\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}=-(\lambda_{1}+\lambda_{2})\cdot(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}) [/mm]

Nun hatte ich eine Vermutung, dass sich irgendetwas herauskürzen könnte, was es aber nicht tut (oder was ich gerade nicht sehe), aber vielleicht hilft das ganze ja trotzdem weiter, daher lasse ich die Antwort mal stehen, setze aber die Frage noch auf unbeantwortet.

Marius

Bezug
                                        
Bezug
Senkrechte Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Fr 10.07.2015
Autor: weduwe

hübsch ist doch das Verhältnis

[mm] \frac{\lambda_1}{\lambda_2}=-\frac{\vec{b}\cdot(\vec{a}+\vec{b})}{\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})} [/mm]

anzuschauen :-)

("." kennzeichnet ein Skalarprodukt)
(da könnte man dann eventuell noch gucken, was für [mm] \vec{a}=\vec{b} [/mm] herauskommt)

Bezug
                                                
Bezug
Senkrechte Vektoren: Also
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:58 Sa 11.07.2015
Autor: newbie2

Okay, aber was sagt mir denn dieses Verhältnis genau?
Wie hängen [mm] \lambda1 [/mm] und [mm] \lambda [/mm] 2 denn nun voneinander ab?

Bezug
                                                        
Bezug
Senkrechte Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:28 Sa 11.07.2015
Autor: fred97


> Okay, aber was sagt mir denn dieses Verhältnis genau?
>  Wie hängen [mm]\lambda1[/mm] und [mm]\lambda[/mm] 2 denn nun voneinander
> ab?

So:



$ [mm] \frac{\lambda_1}{\lambda_2}=-\frac{\vec{b}\cdot(\vec{a}+\vec{b})}{\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})} [/mm] $

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Senkrechte Vektoren: Okay
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 Sa 11.07.2015
Autor: newbie2

Das ist alles?
Man muss quasi "nur" ein mathematisches Verhältnis angeben?

Bezug
                                                                        
Bezug
Senkrechte Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Sa 11.07.2015
Autor: M.Rex


> Das ist alles?
> Man muss quasi "nur" ein mathematisches Verhältnis
> angeben?

Ja, und dieses Verhältnis ist natürlich von den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] abhängig.

Marius

Bezug
                
Bezug
Senkrechte Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:31 Sa 11.07.2015
Autor: Al-Chwarizmi


>  > Zwischen den Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] muss ja gelten:

>  > [mm]\vec{a}*\vec{b}[/mm] = 0

>  > Demnach schließe ich, dass [mm]\lambda1[/mm] und [mm]\lambda2[/mm]

>  >  linear abhängig sein müssen, stimmt das?
>  
> Zwei Zahlen [mm]\lambda_{1}[/mm] und [mm]\lambda_{2}[/mm] können nicht
> linear abhängig sein.      [haee]


Hallo Marius,

das sehe ich anders: zwei reelle Zahlen sind stets linear
abhängig. Man kann sie ja z.B. auch als Vektoren im Vektor-
raum  [mm] \IR^1 [/mm]  betrachten !

Liebe Grüße

Al

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Vektoren"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]