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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Fr 02.01.2015 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Der Osterhase hat unter jedem der 42 Sitze eines Seminarraums ein Überraschungsei versteckt . In 6 dieser Eier steckt die Lösung für eine der 6 Aufgaben der Klausur zur Vorlesung drin(wobei jedes Ei zu einer anderen Aufgabe die Lösung enthält).Trotz vollständigem Vorlesungsskript besuchen noch 4 Studierende die Vorlesung.Nehmen wir an,diese 4 Studierenden wählen rein zufällig einen der 42 Sitze aus,wobei jeder (noch nicht belegte) Sitz gleichwahrscheinlich ausgewählt wird,und dass jeder Studierende nur das Überraschungsei aufmacht,was unter seinem Sitz versteckt ist.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass jeder der vier Studierenden ein Überraschungsei mit einer Lösung erwischt?
b) Wie groß ist die W'keit,dass mind. ein Studierender ein Ü'ei mit einer Lösung erwischt?
c) Wie groß ist die W'keit,dass der 1. und 3. Studierende ,der sich zufällig einen Platz aussucht,ein Ü'ei mit einer Lösung erwischt,die beiden anderen Studierenden aber nicht?
d) Ist die W'keit aus (c) dieselbe wie die W'keit dafür,dass genau zwei der Studierenden ein Ü'ei mit einer lösung erwischen ?Begründen sie
e) Wie groß ist die W'keit ,dass die vier Studierenden die Ü'eier mit den Lösungen für die ersten vier Aufgaben erwischen? |
Ich werden versuchen alles sofort richtig zu beantworten!
Es gibt ja 42Sitzplätze mit 42 Ü'eiern, davon sind 36 ohne lösungen gespickt und 6 mit Lösungen gespickt
$a)$ $ [mm] \frac{6}{42}*\frac{5}{41}*\frac{4}{40}*\frac{3}{39}= \frac{1}{7462}= [/mm] 0,000134012329... [mm] \approx [/mm] 0,01 [mm] \% [/mm] $
Ant.: Das ein der vier Studierenden ein Ei mit Lösungen erwischt liegt bei $ 0,01 [mm] \% [/mm] $
$b) $
$A := $mind. ein Studierender erwischt ein Ü'ei mit einer Lösung .
[mm] $A^c [/mm] := $kein Studierender erwischt ein Ü'ei mit einer Lösung .
[mm] $P(A)=1-P(A^c) [/mm] $
Ich verwende jetzt für [mm] $P(A^c) [/mm] $die Hypergeometrische Verteilung ,da es eine Art Stichprobe ist.
[mm] $P(A^c) [/mm] = X [mm] \sim Hyp_{N,M,n}$
[/mm]
$N = 42$ alle Ü'eier
$M= 36 $ alle Ü'eier ohne Lösung ,wie für das Ereignis [mm] $A^c [/mm] $ gefordert
$n=4 , $ der Umfang der Stichprobe beträgt$ 4$ Studierende
$k=4 , 4$ Studierende sollen kein Ü'ei erhalten
$P(X=k)= [mm] \frac{\binom {M}{k}*\binom {N-M}{n-k}}{\binom {N}{n}}$
[/mm]
$P(X=4)= [mm] \frac{\binom {36}{4}*\binom {6}{0}}{\binom {42}{4}}= \frac{58905*1}{11930}= [/mm] 0,5262$
[mm] $P(A^c)=0,5262$
[/mm]
[mm] $P(A)=1-P(A^c)=1-0,5262= [/mm] 0,4737 [mm] \approx [/mm] 47,37 [mm] \%$
[/mm]
Ant.: das mindestens einer der Studierenden ein Ü' ei mit lösung erwischt liegt bei $47,37 [mm] \%$
[/mm]
$c)$ hier ist es wichtig das 6 eier ne lösung haben und 36 nicht
deshalb [mm] \frac{6}{42}*\frac{36}{41}*\frac{5}{40}*\frac{35}{39}=\frac{15}{1066}=0.01407129455 \approx [/mm] 1,40 [mm] \%
[/mm]
$d)$ $N = 42$ alle Ü'eier
$M= 6 $ alle Ü'eier mit Lösungen
$n=4 , $ der Umfang der Stichprobe beträgt$ 4$ Studierende
$k=2 , 2$ Studierende sollen mindenst ein Ü'eimit Lösungen erhalten
$P(X=k)= [mm] \frac{\binom {M}{k}*\binom {N-M}{n-k}}{\binom {N}{n}}$
[/mm]
$P(X=2)= [mm] \frac{\binom {6}{2}*\binom {36}{2}}{\binom {42}{4}} [/mm] = [mm] \frac{15*630}{111930}= \frac{45}{533}= [/mm] 0,08442777 [mm] \approx [/mm] 8,44 [mm] \%$
[/mm]
Begründung: Nein $1. $mathematisch gesehen ist [mm] $\frac{45}{533} \neq \frac{15}{1066}$
[/mm]
$2.$ Nein, da in der Hypergeometrischen Verteilung in $d)$ Auskunft über die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in einer Stichprobe erteilt wird und nicht wie in $c)$ über alle 42 Ü'eier.
$e)$ Task: Wie groß ist die W'keit ,dass die vier Studierenden die Ü'eier mit den Lösungen für die ersten vier Aufgaben erwischen?
$A := $die vier Studierenden erwischen die Ü'eier mit den Lösungen für die ersten vier Aufgaben .
$P(A) = [mm] \frac{6}{42}*\frac{5}{41}*\frac{4}{40}*\frac{3}{39}= \frac{1}{7462}= [/mm] 0,0001340 [mm] \approx [/mm] 0,01 [mm] \%$
[/mm]
Ant.: Die W'keit ,dass die vier Studierenden erwischen die Ü'eier mit den Lösungen für die ersten vier Aufgaben liegt bei $0,01 [mm] \%.$
[/mm]
Hoffe alles ist richtig
liebe grüße
LGS
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a) ist richtig.
b) könntest Du gleich lösen wie a)
[mm] $P(A^c)=\frac{36}{42}\frac{35}{41}\frac{34}{40}\frac{33}{39}=0.526266$
[/mm]
Das gibt dieselbe Lösung wie Du hast, weil Deine Lösung auch richtig ist.
c) stimmt.
d) Hier könnte die Begründung sein: nein, bei c) war es der erste und der dritte. "Zwei Studierende haben eine Lösung" kann aber bedeuten: der erste und der zweite, der erste und der dritte, der erste und der vierte, der zweite und der dritte, der zweite und der vierte, oder der dritte und der vierte. Das sind sechs Fälle. Die W'keit bei d) sollte also sechs mal grösser sein.
Deine Rechnung stimmt also ;)
e) Falsch. Jetzt gibt es nur noch vier "gute" Eier, also
[mm] $P(A^c)=\frac{4}{42}\frac{3}{41}\frac{2}{40}\frac{1}{39}=0.00000893415$
[/mm]
Gruss,
Hanspeter
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