Selbstadjungierte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Do 26.05.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Hallo zusammen
Ich glaub ich hab ein Brett vor Kopf diese Aufgabe erscheint so einfach und ich find keine Lösung hatte schon tausend Ansätze die gescheitert sind also los
V ist Vektorraum mit Skalarprodukt < , >
Sind A und B selbstadjungierte Endomor. von V mit <u,Au> = <u , Bu> für alle u [mm] \in [/mm] V, dann gilt A=B
Mich macht so fertig dass man das Skalarprodukt von nur einem Vektor betrachtet. Mit zwei verschiedenen wäre es ganz leicht.
Ach ja ich habe dieses Forum in keiner andern Frage gestellt.
Danke für Tipps mit freundlichen Grüßen Mr Coffee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Do 26.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo MrCoffee!
> Sind A und B selbstadjungierte Endomor. von V mit <u,Au> =
> <u , Bu> für alle u [mm]\in[/mm] V, dann gilt A=B
>
> Mich macht so fertig dass man das Skalarprodukt von nur
> einem Vektor betrachtet. Mit zwei verschiedenen wäre es
> ganz leicht.
Ja? Dann müsstest du es ja jetzt sofort hinkriegen, denn
[mm] $\langle [/mm] u,Av [mm] \rangle [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \cdot \left( \langle u+v,A(u+v) \rangle - \langle u-v,A(u-v) \rangle \right)$,
[/mm]
falls $V$ ein euklidischer Raum und $A$ selbstadjungiert ist (im Komplexen musst du die Formel etwas modifizieren, dann kommen noch zwei Terme (mit imaginären Anteilen) hinzu).
Dieses wichtige (!) Verfahren nennt man im Übrigen Polarisation.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Do 26.05.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Sorry aber ich kann mit der Antwort gar nichts anfangen stell mich wohl ziemlich dumm an. Denn ich habe ja gar nicht < u , Av> sondern <u, Au> und da bringt mich die Formel kein Stück weiter. Jedenfalls meiner Meinung nach und bei <u, Av> bräuchte ich sie nicht da gings auch einfacher. Trozdem Danke und ich hoffe auf weitere hilfe in der aufgabe steht nix also geh ich davon aus dass V ein unitärer Raum ist und die paar modifizierungen in der formel machen dann es noch sinnloser (aus meiner sicht)mit diesem ansatz
mit freundlichen grüßen ein hilfloser mr coffee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Do 26.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Formel ist alles andere als sinnlos, da du ja über die rechte Seite eine Menge aussagen kannst. Dort treten ja genau solche Terme auf, von denen du weißt, dass man $A$ durch $B$ ersetzen kann...
Anschließend machst du die Formel (mit $B$ anstatt $A$) wieder rückgängig und hast das, was du haben wolltest:
[mm] $\langle u,Av\rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] u,Bv [mm] \rangle$
[/mm]
für alle $u,v [mm] \in [/mm] V$.
Die komplexe Polarisationsformel kannst du dir ja irgendwo aus dem Netz ziehen - da habe ich gerade keine Lust zu.
Viele Grüße
Stefan
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