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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Selbstadjungiert
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Selbstadjungiert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:32 Mi 27.06.2012
Autor: Lu-

Aufgabe
Zeige, dass sich jede Matrix A [mm] \in M_{n \times n} (\IC) [/mm] auf EINDEUTIGE WEISE in der Form A= B + iC schreiben lässt, wobei B und C selbstadjungierte sind.
Hinweise Betrachte A+ [mm] A^{\*} [/mm] und A- [mm] A^{\*} [/mm]


hallo ,
B, C selbstadjungiert
d.h.
[mm] \overline{B}^{t}=B^{\*} [/mm] = B
[mm] \overline{C}^{t}=C^{\*} [/mm] = B

wenn es solch eine Darstellung für A gibt


Woraus beziehe ich nun dass immer solch eine darstellung existiert bzw. dass sie eindeutig ist?
LG

        
Bezug
Selbstadjungiert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Mi 27.06.2012
Autor: fred97


> Zeige, dass sich jede Matrix A [mm]\in M_{n \times n} (\IC)[/mm] auf
> EINDEUTIGE WEISE in der Form A= B + iC schreiben lässt,
> wobei B und C selbstadjungierte sind.
>  Hinweise Betrachte A+ [mm]A^{\*}[/mm] und A- [mm]A^{\*}[/mm]
>  hallo ,
>  B, C selbstadjungiert
>  d.h.
>  [mm]\overline{B}^{t}=B^{\*}[/mm] = B
>  [mm]\overline{C}^{t}=C^{\*}[/mm] = B
>  
> wenn es solch eine Darstellung für A gibt
>  A* = (B + iC )* = B* + [mm]\overline{i}[/mm] C* = B - iC
>  -> A+ [mm]A^{\*}[/mm] = B+ iC + B - iC = 2B

>  -> A -  [mm]A^{\*}[/mm] = B + IC - B + iC = 2* i C

>  
> Woraus beziehe ich nun dass immer solch eine darstellung
> existiert bzw. dass sie eindeutig ist?


Die halbe Miete hast Du doch schon ! Setze

[mm] $B=\bruch{1}{2}(A+A^{\*})$ [/mm] und [mm] $C=\bruch{1}{2i}(A-A^{\*})$ [/mm]

Zeige , dass B und C selbstadjungiert sind. Nach Konstruktion ist A=B+iC.


Zur eindeutigkeit:

Sei B+iC [mm] =B_1+iC_1 [/mm] mit weiteren selbstadjungierten Matrizen [mm] B_1 [/mm] und [mm] C_1 [/mm]

Dann ist

          [mm] B-B_1= i(C_1-C) [/mm]

[mm] B-B_1 [/mm] und [mm] C_1-C [/mm] sind selbstadjungiert. Damit sind [mm] C_1-C [/mm]  und  [mm] i(C_1-C) [/mm] selbstadjungiert.

Folgere daraus: [mm] C=C_1 [/mm] und [mm] B=B_1. [/mm]

FRED

>  LG


Bezug
                
Bezug
Selbstadjungiert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 Mi 27.06.2012
Autor: Lu-

Hallo, danke
für de eindeutigkeit:

> $ [mm] B-B_1 [/mm] $ und $ [mm] C_1-C [/mm] $ sind selbstadjungiert.

Warum folgt aus B, [mm] B_1 [/mm] selbstadjungiert, dass auch die Differenz selbstadjungiert ist? Ich habe gedacht das gilt allgemein nicht..?

> Folgere daraus: $ [mm] C=C_1 [/mm] $ und $ [mm] B=B_1. [/mm] $

Okay dass ist klar wenn man [mm] \* [/mm] anwendet

liebe grüße

Bezug
                        
Bezug
Selbstadjungiert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Mi 27.06.2012
Autor: fred97

[mm] (B-B_1)^{\*}=B^{\*}-B_1^{\*}=B-B_1 [/mm]

FRED

Bezug
                                
Bezug
Selbstadjungiert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Mi 27.06.2012
Autor: Lu-

Hei ;)
Aber [mm] i*(C_1 [/mm] - C)
wird ja zu -  [mm] i*(C_1 [/mm] - C) wenn man [mm] \* [/mm] anwendet. was ja dann eigentlich nicht selbstadjungiert ist. Odre hat das auch einen Namen wenn es zum negativen wird?



Bezug
                                        
Bezug
Selbstadjungiert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Mi 27.06.2012
Autor: fred97


> Hei ;)
>  Aber [mm]i*(C_1[/mm] - C)
>  wird ja zu -  [mm]i*(C_1[/mm] - C) wenn man [mm]\*[/mm] anwendet. was ja
> dann eigentlich nicht selbstadjungiert ist. Odre hat das
> auch einen Namen wenn es zum negativen wird?

Das ist doch der Witz an der Sache !

Wegen [mm] B-B_1=[/mm]  [mm]i*(C_1[/mm] - C), ist  [mm]i*(C_1[/mm] - C) selbstadj.

Andererseits ist ( [mm]i*(C_1[/mm] - [mm] C))^{\*}= [/mm] -  [mm]i*(C_1[/mm] - C)

Damit ist  [mm]i*(C_1[/mm] - C) = -  [mm]i*(C_1[/mm] - C) ,

also [mm] C=C_1. [/mm]

FRED

>  
>  


Bezug
                                                
Bezug
Selbstadjungiert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:44 Mi 27.06.2012
Autor: Lu-

danke ;)

Bezug
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