Sekantensatz/Zwei-Sehnen-Satz < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] p\in\IR^2 [/mm] und [mm] r\in\IR^2 [/mm] , r>0. Dann heißt [mm] K:=\left\{x\in\IR^2| d(x,p)=r\right\} [/mm] der Kreis mit Mittelpunkt p und Radius r.
1. Gegeben sei ein Element [mm] q\in\IR^2 [/mm] , das die Ungleichung d(q, p)<r erfüllt. Beschreibe in Worten
die relative Lage von q und K. Sei G eine beliebige Gerade durch q. Zeige durch Betrachtung einer geeigneten quadratischen Gleichung, dass es genau zwei Schnittpunkte [mm] aG,bG\in\IR^2 [/mm] von G mit
K gibt und dass das Produkt der Abstände
d(aG,q) d(bG,q)
nicht von der Wahl von G abhängt ("Zwei-Sehnen-Satz").
2. Gegeben sei nun ein Element [mm] q\in\IR^2 [/mm] mit d(q, p) > r. Beschreibe in Worten die relative Lage von q und K. Sei G eine beliebige Gerade durch q, die zwei Schnittpunkte [mm] aG,bG\in\IR^2 [/mm] mit K habe,
und sei T eine Gerade durch q, die K in genau einem Punkt c schneide. Dann gilt:
d(aG,q) d(bG,q) = d(c,q)2
(Sehnen-Tangenten-Satz) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also so wirklich weit komme ich hier nicht. Zwar habe ich verstanden, was man von mir will, aber ich kann es leider nicht beweisen. Ich versuch mal meinen Ansatz zu beschreiben:
Für den Zwei-sehnen-Satz gilt: Der Abstand von q zum Schnittpunkt aG multipliziert mit dem Abstand zu bG = [mm] Radius^2 [/mm] - (Abstand von q zu [mm] p)^2
[/mm]
ICh habe versucht für r, also den Radius p-x einzusetzen und das minus q-r, also der Strecke qp, im Prinzip also die rechte Seite. Aber mit dem Ergebnis weiß ich nix anzufangen und ich würde ja voraussetzen, dass der Satz stimmt. Ich weiß nicht, wie ich 2 Schnittpunkte nachweisen soll, v.a. weil das ziemlich logisch ist, dass es zwei geben muss.
Für den Sehnen-Tangenten-Satz gilt: [mm] d(q,c)^2=\overline{gaG}*\overline{gbG}=d(p,q)^2-r^2
[/mm]
Hier bin ich leider genauso ratlos. Könnt ihr mir weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 So 18.11.2007 | | Autor: | lenz |
hi
sitze zufälligerweise auch grade an der aufgabe.
die schnittpunkte kann man wenn ich mich nicht irre einfach durch ausrechnen der gleichung
[mm] |\vec{q} +\alpha \vec{v} |=|\vec{r} [/mm] | bestimmen.also zeigen das es genau 2 lösungen gibt.
weiß allerdings nicht ob das reicht.
dass das produkt der euklidischen abstände gleich ist müßte sich dann auch durch ausrechnen
zeigen lassen,es müßte eigentlich irgenwas raus kommen was nicht von [mm] \vec{v} [/mm] abhängt,ist aber ziemlich unübersichtlich,bin deswegen auch da hängengeblieben
gruß lennart
(hab hier p=0 gesetzt,das sollte eigentlich gehen,da die wahl des koordinatensystems frei ist)
ansonsten [mm] \vec{q} =\vec{p} +\vec{z} [/mm] dann [mm] \vec [/mm] {z} in die gleichung einsetzen,oder so,weiß grad auch nicht so genau  )
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