Schwingung mit Wurf/Fall-Teil < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Mi 19.07.2006 | | Autor: | Koala |
Am Ende einer Feder sei ein Faden angebracht an dem ein Massestück hängt. Schwingt die Feder "zu schnell" für das Massestück, fällt dieses für einen Teil der Schwingung. D.h. die Feder beschleunigt aus der maximalen Stauchung schneller als die Masse fällt. Soweit so klar. Aber beim genaueren Überlegen komm ich doch ins grübeln:
Wie sieht die Bewegungsgleichung für so eine Schwingung aus?
Kann schon im Nulldurchgang bei [mm]v_{max} [/mm] die Geschwingdigkeit so groß sein, dass die Masse auf Grund ihrer Trägheit dem Abbremsen der Feder nicht mehr folgt. Also quasi aus Gleichgewichtsposition nach oben geworfen wird (und dann irgendwann wieder auf die Bewegung des Federschwingers zurückfällt) oder passiert das Ablösen zwingend nach dem oberen Umkehrpunkt?
Kann man das irgendwie numerisch lösen? Meine ersten Ansätze führten immer zu einer Schwingung bei der das ganze System mit der Zeit abstürzt. Dazu habe ich numerisch eine stückweise stetige Funktion lösen lassen die in etwa folgendes ausdrückt: "Wenn Federschwingerbeschleunigung a nach unten gerichtet ist UND a > g ist, nimm g, sonst a" = oben gekappter Sinus als Beschleunigung. Ich denke mal das geht gegen [mm]-\infty[/mm] geht wenn nirgendwo steht, dass die gesamtlänge des Systems begrenzt ist, also die Masse wieder in den Faden fällt (spätestens wenn dieser wieder vom Pendel hochgezogen wird)
Wie kann man das noch einbauen?
Über weitere Ideen, Anregungen und Vorschläge würd ich mich sehr freuen. Auch über Literaturhinweise zu ähnlichen Problemen. Diesen hier kann ich nach eigenen Recherchen schon mal geben:
http://www.iop.org/EJ/abstract/0031-9120/28/5/017
(ist nicht exakt das beschriebene Problem aber schonmal was mit Federschwinger und freiem Fall)
Ach ja: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nun, ich denke, eine DGL braucht man da nicht aufzustellen, da man die Lösungen für die unterschiedlichen Bewegungen ja kennt.
Nur: Da sich die Wege von Masse und Feder trennen: Die Masse macht dann eine normale Fallbewegung, doch was macht die Feder? Die Schwingt ja auch weiter! Und zwar plötzlich sehr viel schneller und mit kleinerer Amplitude! Um das zu berechnen, mußt du der Feder auch eine kleine Masse geben, sonst funktioniert die Schwingungsgleichung nicht mehr. Masselose Federn schwingen nicht, sie gehen einfach in ihre Ausgangslage zurück, da die Trägheit fehlt, die sie normalerweise über die Ausgangslage hinwegtreibt.
Also sollte deine Rechnung so verlaufen:
1. Masse und Feder(masse) schwingen zusammen
2. Wenn die Beschleunigung nach unten stärker als die Gravitation wird, macht die Masse einen freien Parabelflug, und die Feder schwingt nur noch mit ihrer eigenen kleinen Masse. Die Gleichungen ergeben sich aus den einzelnen Gewichten, der aktuellen Geschwindigkeit und der aktuellen Auslenkung. Die Schwingung der Feder alleine folgt nun natürlich völlig anderen Parametern.
3a. Wenn sich beide Bewegungen wieder treffen, addieren sich die Impulse von Feder und Gewicht zu einem Gesamtimpuls, hieraus ergibt sich die neue Geschwindigkeit, mit der sich beide zusammen weiterbewegen. Zusammen mit der aktuellen Auslenkung bastelt man sich wieder die ursprüngliche Gleichung zusammen. Allerdings ist hier die Energie nicht erhalten, das ist ein inelastischer Stoß. Daher:
3b. Wenn sich beide Bewegungen treffen, gibt es einen elastischen Stoß, der sowohl der Masse als auch der Federmasse einen neuen Impuls zuweist. Die Wege der beiden trennt sich wieder, und Feder und Masse folgen wieder ihren eigenen Wegen. Vermutlich werden die beiden nur noch sehr selten "synchron fliegen", ansonsten wird das ein ständigen Gehüpfe.
Ich finde die Aufgabe sehr interessant, und würde das auch gerne mal programmieren, jedoch fehlt mir in den nächsten Tagen die Zeit dazu. ICh kann nächste Woche ja mal schauen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Do 20.07.2006 | | Autor: | Koala |
Vielen Dank für deine Antwort. Der Feder eine Masse geben ist natürlich eine gute Maßnahme. Es sollte ja auch reichen, sich die Federmasse im Federmittelpunkt vereint vorzustellen, hauptsache irgendwas zieht noch an der Feder. Die eigentliche Bewegung ist bestimmt interessant und bei geeigneten Parametern ist eine periodische Schwingung sicherlich auch möglich.
Ein Programm dazu, in dem man mit diesen Parametern spielen kann und dann es dann hüpfen sieht wäre große Klasse. Hast du einen Vorschlag für folgendes Problem:
In dem Moment wo die Masse von der Feder abkoppelt müsste die Feder schlagartig mit einer höheren Frequenz schwingen (müsste sie doch?!). Das wird aber so nicht passieren. Wie schwingt die Feder auf den neuen Zustand ein - und was passiert wenn sie das gar nicht richtig schafft weil sie schon wieder der Masse zuschwingt und den nächsten Hieb kriegt. Klingt doch recht komplex und ohne DGLs und die entsprechende Numerik, denk ich ist da nichts zu machen.
Für ein Programm stelle ich mir das in etwa so vor:
1. Schwingung wird mit AB's gestartet und geht in diskreten Zeitschritten vorwärts
2. pro Zeitschritt prüfen der Momentanbeschleunigung der Feder und der Masse
3. außerdem prüfen dieser Fälle:
a) x_Feder(i-1) = x_Masse(i-1) UND x_Feder(i) = x_Masse(i) -> synchron
b) x_Feder(i-1) = x_Masse(i-1) UND x_Feder(i) != x_Masse(i) -> Masse hebt ab
c) x_Feder(i-1) != x_Masse(i-1) UND x_Feder(i) != x_Masse(i) -> Masse fällt
d) x_Feder(i-1) != x_Masse(i-1) UND x_Feder(i) = x_Masse(i) -> Masse wieder eingefangen
4. wenn Beschleunigung der Feder > g UND richtung = abwärts ändere momentane Beschleunigung der Feder so als wäre eine Schwingung in gang gesetzt worden mit den aktuellen Werten als AB aber mit neuer (Feder)Masse
5. wenn "synchron" -> Schwingung mit Federmasse+Masse
wenn "Masse fällt" -> x_Feder aus Schwingung x_Masse aus Fall
wenn "Masse hebt ab" -> Impuls auf Feder (Masseverlust) ... und 4.
wenn "eingefangen" -> Impuls auf Feder ...
immer wo "..." stehen wird's schwammig mit der Vostellung von der genauen Programmierung aber ich denke so könnte man es doch mal versuchen, oder?
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Zu dem Schlagartig:
Da muß nichts einschwingen. Wenn sich Masse und feder trennen, haben beide die gleiche Auslenkung und die gleiche Geschwindigkeit.
Du mußt dir dann nur die Funktion suchen, in die nur die Masse der Feder eingesetzt wird, und die zu diesem Zeitpunkt die gleiche geschwindigkeit und Auslenkung hat. Diese Funktion wäre - genauso wie die Flugparabel - stetig differenzierbar zur anfänglichen Bewegung. Du hättest einen absolut gleichmäßigen Übergang.
Beim Zusamentreffen ist das nicht mehr ganz so stetig, das stimmt wohl. Ich würde die Federmasse dann auch an die Spitze der Kugel setzen, dann würde die Feder übrigens gar nicht mehr einschwingen wollen, weil sie selber wieder masselos wäre. Der Einschwingvorgang hängt ja nur von der Masse an der Feder ab, und wenn du ganz plötzlich an der Masse oder deren Geschwindigkeit drehst, folgt das System einer Bahn, die diese neuen Anfangsbedingungen hat.
Naja, ich werd mich damit auch mal beschäftigen. Kennst du Python? Darin werd ich das wohl machen.
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Ich habe ein wenig gebastelt, und so sieht es bisher aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Schwarz ist die Schwingung, wenn Feder und Masse zusammenschwingen.
Bei t=0,4 soll dann mal die Beschleunigung zu stark werden.
Die Masse löst sich von der Feder und fliegt auf einer Parabel (grün) weiter. Zum Zeitpunkt der ABlösung hat die Masse natürlich die gleiche Auslenkung und Geschwindigkeit wie kurz zuvor.
Für die Feder gilt das gleiche. Da die schwingende Masse nun aber noch kleiner ist, reicht der Schwung nicht mehr, um die volle "gemeinsame" Amplitude zu erreichen. Somit ist die Amplitude kleiner und wegen der kleineren Masse ist die Frequenz höher. (rot)
Interessant wird es, wo rot und grün sich treffen. Soll hier elastisch oder inelastisch gerechnet werden?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Öhm, dieser Link ist etwas... unbrauchbar.
Nun, das mit elastisch / unelstisch ist kein Problem, ich werde einfach einen zusätzlichen Parameter einbauen, mit dem man stetig zwischen total elastisch und total inelastisch wählen kann. Kommt der Natur am nächsten.
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Hi!
Ich wollte dir nur noch mitteilen, daß ich dich nicht vergessen habe. Hab aktuell aber ein klein wenig streß, daher dauerts noch was.
Zu Python:
Das ist eigentlich eine Scriptsprache, Wenn du C kannst, kannst du auch Python.
Man verzichtet einfach auf den ganzen Schnickschnack von C: Kein Deklarieren von Variablen, kein Semikolon, keine geschweiften Klammern, lokale Variablen, nix.
Blöcke, die in C durch geschweifte Klammern begrenzt werden, werden in Python einzig durch die Einrückung markiert.
Für kleinere Sachen ist Python C ziemlich überlegen, weil man viel schneller das wesentliche macht.
Zugegeben, wenns umfangreicher wird, relativiert sich das. Andererseits läuft doch dieses Forum unter Python, oder?
Mein Programm wird übrigens so ne Art Tabelle ausgeben, die du dann in Excel oder Gnuplot zeichnen lassen kannst.
CU
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Mi 02.08.2006 | | Autor: | Koala |
... ist kein wirkliches Problem das jetzt zum soundsovielten gelöst sein muss. Ich hab mich auch schon (mit Mathematica) daran gewagt aber dann kam immer was wichtigeres dazwischen.
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