Schwingung Stoßdämpfer < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 29.01.2010 | | Autor: | Hans7er |
| Aufgabe | Wir nehmen an, dass der Stoßdämpfer eines durchschnittlichen Autos durch einen harmonischen Oszillator mit kleiner Dämpfung mit einer Periode von 2 Sekunden modelliert werden kann. WIe weit sollten die Bodenwellen auseinanderliegen, damit ein AUto, welches mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h über mehrere Bodenwellen fährt, bei jeder SChwelle immer heftiger auf und ab schwingt? Betrachten Sie dazu die folgende Schwingungsgleichung:
u´´+2au´+bu= cos(wt), a,b>0, a klein |
Hallo zusammen,
sitze hier schon länger an dieser Aufgabe und komme einfach nciht weiter... es gibt noch einen b)-Teil, den ich bereits teilweise bearbeitet habe. MIr fehlt es am Verständnis der Gleichung, glaube ich jedenfalls. D.h. wofür stehen a,b,w=
Zunächst meine Ansätze:
1)Schwingungsperiode ist 2s, die Periode von cos und damit von der DGL ist [mm] 2\pi [/mm] daraus folgere ich, dass [mm] wt=!2\pi [/mm] => [mm] w=\pi
[/mm]
2) ich habe auch die DGL bereits gelöst, allerdings weiß ich mit dem Ergebnis nicht viel anzufangen, zumal es nicht sehr schön ist:
u(t) = [mm] c_1e^{-at}cos(\wurzel(b-a^2)t)+c_2e^{-at}sin(\wurzel(b-a^2))-\bruch{w^2-b}{(w^2-b)^2+(2aw)^2}*cos(wt)+\bruch{2aw}{(w^2-b)^2+(2aw)^2}sin(wt)
[/mm]
die ersten beiden Therme lösen die homogene Gleichung und die letzten beiden stellen eine spezielle Lösung dar.
Leider weiß ich nun nicht was ich damit machen kann, bzw. wie ich das an der Aufgabenstellung umsetzen kann. Was mache ich jetzt mit der Geschwindigkeit, wie bekomme ich einen Abstand zwischen den Bodenwellen? Ich verstehe das so, dass u(t) die Auslenkung des Dämpfers sein soll?!
Vielen Dank für Hilfestellungen im Voraus!!!
Beste Grüße
Hans7er
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Fr 29.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du dir Federn vorstellst ist b=D/m, a*m ist der Faktor , so das die Dämpfungskraft [mm] F_D=a*m*u'(t) [/mm] ist, coswt ist die Schwingungm mit der angeregt wird, also [mm] w=2\pi/2s.
[/mm]
w ist nicht [mm] \pi [/mm] sondern [mm] \pi*1/s.
[/mm]
Deine spezielle Lösung scheint mir falsch. Hast du sie in die Dgl eingesetzt? da kommt bei mir nicht coswt raus. ausserdem stimmt die dimension der Amplituden nicht, die ist bei dir [mm] s^2 [/mm] müsste aber ne Zahl sein.
rechne besser komplex, also mit dem ansatz [mm] u=z*e^{i\omega*t} [/mm]
|z| ist dann die Amplitude
der erste Teil mit [mm] e^{-at} [/mm] ist der Einschwingvorgang, der nach einiger Zeit weg ist. Es bleibt der zweite Teil, dessen Gesamtamplitude musst du ausrechnen; wenn du nicht komplex rechnest: [mm] Acos(\omega*t)+Bsin(\omega*t)=\wurzel{A^2+B^2}cos(\omega*t+\phi)
[/mm]
die Amplitude willst du maximal. das gibt dir ein [mm] \omega, [/mm] und so musst du dann v wählen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Sa 30.01.2010 | | Autor: | Hans7er |
Hi Leduard,
vielen Dank erst einmal für Deine antwort, werde mich da jetzt mal dran begeben.
Viele Grüße
Hans7er
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 31.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Sorry wenn ich hier dreinpfusche! Aber ich habe nur ne kleine Frage, weil ich bezüglich des Aufgabentextes etwas verwirrt bin.
Es steht doch man solle den Abstand so wählen, dass die Amplitude IMMER grösser wird. Aber bei dem nicht idealen Fall mit einer Dämpfung (wenn sie bzw. der Parameter "a" auch noch so klein ist) kann die Amplitude nicht unendlich werden, da die partikuläre Lösung ja nicht die Form konstante*t*sin(wt) sondern konstante*sin(wt) hat?! Oder nicht? Kann man nur durch eine geeignete Frequenz machen, dass immer und immer mehr Energie zugeführt wird?
Danke
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 So 31.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht, "immer" ist hier sicher falsch, aber da ja der Term mit [mm] e^{-at} [/mm] nur assymptotisch gegen 0 geht, dauert es auch ziemlich lang, bis die maximalampl. erreicht ist. in der Zeit ist das Auto wieder auf nem anderen Strassenabschnitt!![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 So 31.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Danke...
Ich war sowas von nicht mehr sicher...es gibt ja das Problem, dass Bauwerke sich zu fest aufschaukeln...ich habe schon gedacht eine Brücke könne noch su gut gedämpft sein, die Amplitude könne immer unendlich werden...das wäre etwas beängstigend...aber demfall haben bei Brücken die ins Schwingen geraten immer die Ingenieure versagt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 So 31.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Wir nehmen an, dass der Stoßdämpfer eines
> durchschnittlichen Autos durch einen harmonischen
> Oszillator mit kleiner Dämpfung mit einer Periode von 2
> Sekunden modelliert werden kann. WIe weit sollten die
> Bodenwellen auseinanderliegen, damit ein AUto, welches mit
> einer Geschwindigkeit von 20 km/h über mehrere Bodenwellen
> fährt, bei jeder SChwelle immer heftiger auf und ab
> schwingt? Betrachten Sie dazu die folgende
> Schwingungsgleichung:
>
> u´´+2au´+bu= cos(wt), a,b>0, a klein
Hallo,
ich wiederum verstehe nicht, wozu diese Gleichung überhaupt noch nötig ist.
Aus dem Aufgabentext geht hervor, dass das System eine gedämpfte Eigenschwingung mit T=2s besitzt.
Der Resonanzfall tritt ein, wenn die erzwungene Schwinkung (Bodenwellen) im gleichen Rhythmus erfolgt. Bei 20 km/h legt man in 2 s einen Weg von 5,555 m zurück, also brauchen die Bodenwellen diesen Abstand.
Gruß Abakus
> Hallo zusammen,
>
> sitze hier schon länger an dieser Aufgabe und komme
> einfach nciht weiter... es gibt noch einen b)-Teil, den ich
> bereits teilweise bearbeitet habe. MIr fehlt es am
> Verständnis der Gleichung, glaube ich jedenfalls. D.h.
> wofür stehen a,b,w=
>
> Zunächst meine Ansätze:
>
> 1)Schwingungsperiode ist 2s, die Periode von cos und damit
> von der DGL ist [mm]2\pi[/mm] daraus folgere ich, dass [mm]wt=!2\pi[/mm] =>
> [mm]w=\pi[/mm]
>
> 2) ich habe auch die DGL bereits gelöst, allerdings weiß
> ich mit dem Ergebnis nicht viel anzufangen, zumal es nicht
> sehr schön ist:
>
> u(t) =
> [mm]c_1e^{-at}cos(\wurzel(b-a^2)t)+c_2e^{-at}sin(\wurzel(b-a^2))-\bruch{w^2-b}{(w^2-b)^2+(2aw)^2}*cos(wt)+\bruch{2aw}{(w^2-b)^2+(2aw)^2}sin(wt)[/mm]
>
> die ersten beiden Therme lösen die homogene Gleichung und
> die letzten beiden stellen eine spezielle Lösung dar.
>
> Leider weiß ich nun nicht was ich damit machen kann, bzw.
> wie ich das an der Aufgabenstellung umsetzen kann. Was
> mache ich jetzt mit der Geschwindigkeit, wie bekomme ich
> einen Abstand zwischen den Bodenwellen? Ich verstehe das
> so, dass u(t) die Auslenkung des Dämpfers sein soll?!
>
> Vielen Dank für Hilfestellungen im Voraus!!!
>
> Beste Grüße
>
> Hans7er
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 So 31.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Das hab ich auch gedacht, hätte aber nie gedacht, dass die überlegung richtig war...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 So 31.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Das hab ich auch gedacht, hätte aber nie gedacht, dass die
> überlegung richtig war...
Vielleicht ist es ja Sinn der ganzen Übung, dass die Resonanzfrequenz erst als ein mit der Eigenfrequenz übereinstimmender Wert hergeleitet werden soll...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 So 31.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hm...so weit hab noch gar nicht gedacht gehabt, denn ich wuste noch nicht den Unterschied von Eigenfrequenz zu Resonanzfrequenz. War jetzt am googlen...und auf Wikipedia steht folgendes:
"Bei fehlender Dämpfung fallen Resonanzfrequenz, Eigenfrequenz und Kennkreisfrequenz zusammen, es ergibt sich theoretisch ein unendlich großes Maximum unter der Bedingung fe (Erregerfrequenz) = f0 (Eigenfrequenz)."
Also stimmt es doch nicht genau, wenn man einfach die Eigenfrequenz nimmt, wenn es eine Dämpfung hat? Ist das jetzt richtig mit den 2s ?
Gruss
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