Schwingender Kreisbogen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Sizu |
| Aufgabe | Eine Metallstange sei so verbogen, dass sie einen Kreisbogen mit Radius R und Öffnungsinkel 2(alpha) bildet. Sie sooll im Schwerefeld der Erde als physikalisches Pendel um eine horzontale, reibungsfrei gelagerte Achse A mit kleiner amplitude schwingen. Die Achse A stehe senkrecht auf der Fläche des Kreisbogens und durchstößst diese im Symmetriepunkt P.
a) In welchem Abstand [mm] s(\alpha) [/mm] vom Aufhängepunkt P befindet sich der Massenmittelpunkt des Metallbogens?
b) Wie groß ist das Trägheitsmoment [mm] Jp(\alpha) [/mm] des Bongens für eine Rotation um die Achse A durch den Punkt P?
c) Zeigen Sie, dass die Schwingungsdauer dieses physikalischen Pendels nicht von [mm] \alpha [/mm] abhängt. |
Hallo,
ich benötige bei folgender Aufgabenstellung ein paar Tipps, bzw. Verbesserungen zu meiner Lösung, da ich nicht aufs erwünschte Ergebnis komme.
Zunächst einmal die Zeichnung zu der Problemstellung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aufgabe a) Ich hab mir eine Zeichung mit einem Kreisbogen gemacht und folgende Gleichungen dazu aufgestellt (Koordinaten-Urspung liegt im Mittelpunkt des Kreises):
b(kreisbogen) = [mm] 2*(\alpha)*R
[/mm]
db = [mm] R*d(\mu)
[/mm]
y = [mm] R*cos(\mu)
[/mm]
Über [mm] y(s)*\summe_i [/mm] F(Gi) = [mm] \summe_i [/mm] y(i)*F(Gi)
kam ich auf folgende Aussage:
y(s) = [mm] 1/(2*\alpha*R)*\integral_{-\alpha}^{\alpha}{R*cos\mu*d\mu}=...=R*sin(\alpha)/\alpha
[/mm]
Diese Rechnung habe ich folgender Literatur entnommen:
http://books.google.com/books?id=IGq3DBaNCjcC&pg=PA75&lpg=PA75&dq=kreisbogen+schwerpunkt&source=web&ots=qLO-LTJbol&sig=gJo532u7SUKq29ghHZ56rvRUHH8,
(Techische Mechanik 1,
Von Georg Schumpich
Mitwirkende Personen
Conrad Eller
Auf Seite 75)
Ich denke, deshalb sollte das soweit richtig sein. Im Anschluss hab ich gesagt, dass mein [mm] s(\alpha) [/mm] die Differenz von R und y(s) ist.
Also gilt für [mm] s(\alpha):
[/mm]
[mm] s(\alpha)=R-y(s)=R-R*sin(\alpha)/\alpha
[/mm]
[mm] s(\alpha)=R*(1-sin(\alpha)/\alpha)
[/mm]
Ich hoffe mal, dass meine Rechnung soweit passt.
Aufgabe b)
Allerding weiß ich nicht, wie ich das Trägheitsmoment berechnen soll. Geht es, dass ich vom Punkt P zum Schwerpunkt gehe? Ist das dann das Trägheitsmoment? Also praktisch:
[mm] Jp(\alpha)=m*s(\alpha)^2
[/mm]
Somit wäre:
[mm] Jp(\alpha)=m*[R*(1-sin(\alpha)/\alpha)]^2
[/mm]
[mm] Jp(\alpha)=m*R^2*(1-sin(\alpha)/\alpha)^2
[/mm]
Aufgabe c)
Ich weiß, dass für T gilt:
[mm] T=2*\pi/\wurzel{(g*m*s(\alpha)/Jp(\alpha)}
[/mm]
[mm] T=2*\pi*\wurzel{Jp(\alpha)/g*m*s(\alpha)}
[/mm]
Wenn ich jetzt aber mein Trägheitsmoment und meinen Abstand einsetze kürzt sich der Winkel [mm] \alpha [/mm] nicht heraus. Deshalb wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, wo mein fehler liegt.
Bin schon im Vorraus für Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
hallo!
Die a) ist richtig, so weit ich das sehe.
b)
Nun, du kannst den Satz von Steiner verwenden, dafür brauchst du das Trägheitsmoment bezüglich des Schwerpunkts, zu dem du dann noch [mm] ms(\alpha)^2 [/mm] addierst. Allerdings ist das zu kompliziert, das Trägheitsmoment ist in diesem Fall super einfach zu berechnen:
Wenn du deinen Kreisbogen in viele kleine, einzelne Massepunkte zerlegst, wie groß ist das Trägheitsmoment eines solchen Massepunkts bezüglich der Kreismitte? Und folglich, wie ist das gesuchte Trägheitsmoment?
c) Da kann ich der Aufgabe nicht zustimmen. [mm] \alpha [/mm] bestimmt den Schwerpunkt. Wenn [mm] \alpha [/mm] sehr klein ist, konzentriert sich die Masse in einem Punkt, und du hast quasi das mathematische Pendel. Der andere Fall wäre [mm] \alpha=\pi [/mm] , in dem Fall würde aus dem Kreisbogen ein Vollkreis. Dessen Schwerpunkt fällt mit dem Mittelpunkt zusammen, und dann schwingt da gar nix, das Ding rotiert höchstens mit konstanter Geschwindigkeit.
Es sei denn, dein Punkt P ist NICHT der Mittelpunkt des Kreises, dann müßtest du uns aber erstmal sagen, wo der Punkt P sein soll.
|
|
|
|
