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Schwimm-Gleichgewicht: Aufgabe für Interessierte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Sa 31.08.2019
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe
Ein zylinderförmiger Eisblock mit der Dichte 950 [mm] kg/m^3 [/mm] hat einen vorgegebenen Radius r (beispielsweise r=10m) und eine Höhe h und soll im Meerwasser (Dichte 1050 [mm] kg/m^3) [/mm] schwimmen.

Für kleine Werte der Höhe h schwimmt die Eis-Scheibe natürlich so auf dem (ruhigen) Wasser, dass die Zylinderachse vertikal bleibt. Wird aber h genügend groß (z.B. h=40m), so wird der Zylinder kippen und schließlich mit horizontaler Rotationsachse im Wasser liegen.

Berechne die kritische Höhe h, bei welcher der Eisblock gerade zu kippen beginnt.

Zu dieser Aufgabenstellung wurde ich inspiriert von einer nicht ganz realistischen Frage zum Thema "Eisberg" in einem anderen Forum:
https://www.gutefrage.net/frage/eisberghoehe-ohne-volumen-berechnen#comment-219395117

Die abgeänderte Aufgabe möchte ich euch hier einfach zur freien Bearbeitung präsentieren

LG ,   Al-Chwarizmi

        
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Schwimm-Gleichgewicht: Dummy
Status: (Frage) statuslos Status (unbefristet) 
Datum: 23:58 Sa 31.08.2019
Autor: ChopSuey

Dummy-Frage.

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Schwimm-Gleichgewicht: numerische Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 Mo 02.09.2019
Autor: Al-Chwarizmi

Liebe Mitdenkende bzw. -grübelnde !

Nachdem ich die Aufgabe hier schon reingestellt hatte,
habe ich bemerkt, dass sie doch um eine Nummer kniffliger
ist, als ich zunächst gedacht hatte.
Mittlerweile ist mir aber doch die Lösung gelungen, und ich
möchte wenigstens einmal das numerische Ergebnis bekannt
geben, das ich gefunden habe:

Mit den gewählten numerischen Annahmen (Dichte(Eis) = 0.95 ;
Dichte(Meerwasser) = 1.05 ; Zylinderdurchmesser 20m) komme
ich auf das Ergebnis, dass ein solcher Eiszylinder stabil im
Wasser schwimmt (mit vertikaler Rotationsachse), falls seine
Höhe weniger als ca. 24.09m beträgt. Ab dieser kritischen
Höhe wird der Zylinder umkippen und sich dann in eine Lage
mit horizontaler Rotationsachse bewegen.

LG ,  Al-Chwarizmi

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Schwimm-Gleichgewicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:23 Do 24.09.2020
Autor: Mathejunkie23

Coole Aufgabe! Hatte ich echt eine Weile dran zu kniffeln :)

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Schwimm-Gleichgewicht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 Fr 25.09.2020
Autor: Gonozal_IX

Hallo Al,

ich habe eine Frage zu der Aufgabe:

> Wird aber h genügend groß (z.B. h=40m), so wird der Zylinder kippen und schließlich mit horizontaler Rotationsachse im Wasser liegen.

Wieso sollte er das in einer ideale Umgebung ohne Scherkräfte tun?
Der Zylinder drückt vertikal ins Wasser, der Auftrieb drückt ihn vertikal wieder nach oben.
Der Zylinder wird also auf und ab pendeln oder einfach ruhig im Wasser "stehen".

So lange keine Seitenkräfte auftauchen (die in deinem Modell ja gar nicht vorgesehen sind) oder er bereits schief ins Wasser geworfen wird, wird er also schlichtweg hochkant ausgerichtet bleiben… oder irre ich mich da?

Gruß,
Gono

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Schwimm-Gleichgewicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Fr 25.09.2020
Autor: chrisno

Es steht zwar nicht in der Aufgabe, aber, da von Eis und Wasser geschrieben ist, ist mit Schwimmen eine stabile Schwimmlage gemeint. Stabil heißt, dass bei kleinen Auslenkungen aus der Ruhelage rücktreibende Kräfte entstehen. Sonst wäre die Aufgabe nicht interessant.


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Schwimm-Gleichgewicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 Fr 25.09.2020
Autor: Al-Chwarizmi

Danke chrisno !

Genau so war es auch gemeint. Ich kann mir einfach keinen vertikal im Wasser stehenden und "schwimmenden" langen zylindrischen Eiszapfen vorstellen. Mit minimalen Störungen muss man da immer rechnen, wenn das Ganze einigermaßen realistisch betrachtet werden soll.

Nebenbei: heute früh habe ich eine Meldung zur Corona-Situation gehört. Es wurde da von einer amtlichen Stelle gemeldet, die Lage habe sich stabilisiert, bleibe aber nach wie vor labil. Vielleicht hätten die auch mal noch eine Nachhilfestunde in Stabilitätstheorie nötig ...

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Schwimm-Gleichgewicht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:25 So 27.09.2020
Autor: statler

Hi!

An der TUHH kennt man auch das sogenannte 'numerische Kentern', wenn die Simulation ein anderes Ergebnis produziert als die Realität. Hummeln können bekanntlich nicht fliegen.

> Nebenbei: heute früh habe ich eine Meldung zur
> Corona-Situation gehört. Es wurde da von einer amtlichen
> Stelle gemeldet, die Lage habe sich stabilisiert, bleibe
> aber nach wie vor labil. Vielleicht hätten die auch mal
> noch eine Nachhilfestunde in Stabilitätstheorie nötig ...

... auch in Statistik und Testtheorie! Weiteres Gelästere verkneife ich mir, ich will hier keinen shitstorm lostreten.

Gruß Dieter


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Schwimm-Gleichgewicht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 So 11.10.2020
Autor: HJKweseleit

Für k=(Dichte Körper)/(Dichte Wasser) (hier: 95/105) erhält man allgemein für die kritische Höhe h den Wert

[mm] h=\bruch{1}{\wurzel{2k(1-k)}}*r, [/mm] hier also 2,408865...r.





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Schwimm-Gleichgewicht: Zusatz - korrigiert
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:10 Do 15.10.2020
Autor: HJKweseleit

Durch einen Abschreibfehler stand hier ein falsches Ergebnis. Korrigiert muss es nun heißen:

Wenn man einen Quader nimmt, ändert sich die Formel etwas:

Für k=(Dichte Körper)/(Dichte Wasser) (hier: 95/105) erhält man allgemein für die kritische Höhe h den Wert

  [mm] h=\bruch{1}{\wurzel{6k(1-k)}}\cdot{}a. [/mm]

Dabei ist a die kleinste waagerechte Kantenlänge.

Bei Quadratischer Grundfläche kann man einen Zylinder mit dem Durchmesser d=2r mit einem Quader vergleichen, dessen Grundflächendiagonale ebenfalls d ist (der Quader würde genau in den hohlen Zylinder passen). Dann wäre [mm] a\wurzel{2}=d=2r [/mm] und damit [mm] a=r\wurzel{2}, [/mm] somit

  [mm] h=\bruch{1}{\wurzel{6k(1-k)}}\cdot{}r\wurzel{2}=\bruch{1}{\wurzel{3k(1-k)}}\cdot{}r. [/mm] Die Höhe eines solchen Stabes wäre damit [mm] \wurzel{2/3} \approx [/mm] 81,65 %  des entsprechenden Zylinders.

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