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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:13 Di 03.07.2007 | | Autor: | schoko0815 |
| Aufgabe | Hallo!
Ich möchte die Funktion [mm] F(p):=\frac{1}{i\sqrt{p}}\frac{J1(i\sqrt(p))}{J0(i\sqrt(p))} [/mm] in den Zeitbereich zurücktransformieren wobei J0 und J1 einfache Besselfunktionen der Ordnung Null und Eins sind. |
Desto mehr ich darüber nachdenke desto mehr Fragen tauchen auf ;-(. Über eine gute Idee (es muss nicht unbedingt die Lösung sein) würde ich mich deswegen auf jeden Fall sehr freuen.
Zunächst einige Gedanken zu dem Thema:
In der Literatur wird das Integral [mm] f(t)=\integral_{\sigma-i \infty}^{\sigma+i \infty}{F(p)exp(pt) dp} [/mm] bei derartigen Typen von Funktionen gerne über den Residuensatz und die Lemma von Jordan bestimmt.
F(p) besitzt Singularitäten an den Stellen [mm] p=-\lambda_{0n}^2, [/mm] den Nullstellen der Besselfunktion im Nenner. Die Polstellen dürften vom Typ erster Ordnung sein (?) da J0 an den NS in einfache Taylorreihen entwickelbar ist.
Für p -> 0 spielt die Wurzelfunktion eigentlich keine Rolle (?) da diese sich mit der J1(0) - Nullstelle hebt. Ein Abtrennen des Faktor [mm] \frac{1}{\sqrt{p}} [/mm] sollte daher für die Anwendung des Residuensatzes eigentlich keine Rolle spielen. Man sieht gleich, das es aber leider trotzdem einen Unterschied macht ob man den Faktor abtrennt oder nicht.
Ist auf jeden Fall die Lemma von Jordan erfüllt ergeben sich die Residuen zu
[mm] Rn=\frac{1}{i\sqrt{p}}\frac{J1(i\sqrt(p))}{J0(i\sqrt(p))}exp(pt)(p+\lambda_{0n}^2)
[/mm]
Mit der Regel von L'Hospital und der Kongruenz [mm] J0(i\sqrt(p))'=\frac{1}{2i\sqrt(p)}J1(i\sqrt{p}) [/mm] ergibt sich nach einigen Umformungen
[mm] Rn=2exp(-\lambda_{0n}^2t)
[/mm]
Damit ist [mm] f(t)=2\summe_{n=1}^{\infty}exp(-\lambda_{0n}^2t)
[/mm]
Das erste große Problem taucht nun auf wenn man f(t) laplacetransformiert, dann kommt man nämlich nicht mehr auf Besselfunktionen sondern auf [mm] 2\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{p+\lambda_{0n}^2}
[/mm]
Irgendwie ja wenig verwunderlich wenn man sich so vorstellt dass das komplexe Wegintegral ja nur von den Residuen abhängt, allerdings wiederspricht das dann total meinem Bauchgefühl denn es muss für meine Zeitfunktion doch einen Unterschied machen ob meine Laplacetransformierte F(p) aus Besselfunktionen besteht oder aus einer Summe von rationalen Funktionen oder ist das nicht der Fall?
Das nächste Problem kommt mit dem Faktor [mm] \frac{1}{\sqrt(p)}:
[/mm]
Man kann F(p) ja auch als Produkt von [mm] \frac{1}{\sqrt(p)} [/mm] und [mm] \frac{J1(i\sqrt(p))}{J0(i\sqrt(p))} [/mm] sehen und beide Funktionen separat zurücktransformieren und im Zeitbereich falten. Es kommen dann im Zeitbereich Gausssche Fehlerfunktionen heraus, was evt. "eher" dem tatsächlichen Ergebnis entsprechen könnte (?). Nur ist mir absolut nicht klar wie und warum man [mm] \frac{1}{\sqrt(p)} [/mm] separat behandeln sollte. Schliesslich ist [mm] \int_{\Gamma=Kreis(0+i0,r->0)}\frac{1}{\sqrt(p)}exp(pt)dp [/mm] =0, damit ist die Singularität für p-> 0 offensichtlich noch "schwächer" als "einfach" (Nebenbei kürzt sich die Wurzel in F(p) ja sogar mit dem J1(0)!) und für p-> [mm] \infty [/mm] ist das eigentlich auch nichts besonderes, d.h. Lemma von Jordan ist ansich auch erfüllt.
Mir ist klar das das etwas schwieriger ist, aber evt. hat ja jemand einen Einfall oder schonmal sowas ähnliches gesehen.
Viele Grüße Markus
PS.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Di 03.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Markus,
ich habe zwei Bemerkungen, die dir hoffentlich weiterhelfen:
Erstens ist dein [mm]F(p) = 2\bruch{d}{dp} \ln J_0(i\sqrt{p})[/mm], also die logarithmische Ableitung von [mm]J_0[/mm].
Zweitens gibt es für Besselfunktionen die Produktdarstellung:
[mm]J_\nu(z) = \bruch{\left(z/2\right)^\nu}{\Gamma(\nu+1)} \prod\limits_{n=1}^\infty \left(1-\bruch{z^2}{\lambda_{\nu,n}^2}\right)[/mm].
Wenn du diese Darstellung einsetzt, den Logarithmus bildest und ableitest, kommst du gerade auf deine Summe.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:55 Do 05.07.2007 | | Autor: | schoko0815 |
Lieber Rainer,
vielen Dank für den Hinweis!
Die Produktformel der Besselfunktionen kannte ich noch nicht. Nun ist ja klar welche der zwei Methoden richtig ist. Den Denkfehler in der Faltungsmethode mit diesem [mm] \frac{1}{p} [/mm] einzugrenzen sollte jetzt eigentlich nicht mehr so schwer sein.
Viele Grüße Markus
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