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Schrankensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Sa 26.07.2014
Autor: bquadrat

Aufgabe
Sei [mm] f:I\to\IR [/mm] eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall I und sei [mm] c\in\IR [/mm]
Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(I) [mm] |f'(x)|\le [/mm] c für alle x aus I
(II) [mm] |f(x)-f(y)|\le [/mm] c|x-y| für alle x,y aus I

Hinweis: Verwenden Sie den Mittelwertsatz der Differentialrechnung





Hallo, bis jetzt konnte ich folgendes zeigen:

[mm] (I)\Rightarrow(II) [/mm]

Seien x,y aus I mit y<x Laut MWS gibt es ein c aus ]y,x[
[mm] f'(c)=\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}\gdw f'(c)(x-y)=f(x)-f(y)\gdw|f(x)-f(y)|=|f'(c)(x-y)|=|f'(c)||x-y|\le|x-y|c [/mm]

Beim Teil [mm] (II)\Rightarrow(I) [/mm] habe ich irgendwie Probleme, ich komme ab einem bestimmten Punkt nicht mehr weiter:

[mm] |f(x)-f(y)|\le|x-y|c \gdw c\re\bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}=|\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}| [/mm]
Das ist nun der Differenzenquotient, aber ich kann ja jetzt nicht einfach sagen er ist gleich |f'(x)| bzw. größer oder gleich, oder? Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen?

Danke im Voraus

[mm] b^{2} [/mm]

        
Bezug
Schrankensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Sa 26.07.2014
Autor: hippias


> Sei [mm]f:I\to\IR[/mm] eine differenzierbare Funktion auf einem
> Intervall I und sei [mm]c\in\IR[/mm]
>  Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
>  
> (I) [mm]|f'(x)|\le[/mm] c für alle x aus I
>  (II) [mm]|f(x)-f(y)|\le[/mm] c|x-y| für alle x,y aus I
>  
> Hinweis: Verwenden Sie den Mittelwertsatz der
> Differentialrechnung
>  
>
>
>
> Hallo, bis jetzt konnte ich folgendes zeigen:
>  
> [mm](I)\Rightarrow(II)[/mm]
>  
> Seien x,y aus I mit y<x Laut MWS gibt es ein c aus ]y,x[
>  [mm]f'(c)=\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}\gdw f'(c)(x-y)=f(x)-f(y)\gdw|f(x)-f(y)|=|f'(c)(x-y)|=|f'(c)||x-y|\le|x-y|c[/mm]

Abgesehen von der unschoenen Doppelbedeutung von $c$ ist das richtig.

>
> Beim Teil [mm](II)\Rightarrow(I)[/mm] habe ich irgendwie Probleme,
> ich komme ab einem bestimmten Punkt nicht mehr weiter:
>  
> [mm]|f(x)-f(y)|\le|x-y|c \gdw c\re\bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}=|\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}|[/mm]
>  
> Das ist nun der Differenzenquotient, aber ich kann ja jetzt
> nicht einfach sagen er ist gleich |f'(x)| bzw. größer
> oder gleich, oder? Könnte mir da bitte jemand
> weiterhelfen?

Existiert der Grenzwert [mm] $\lim_{x\to y} \bruch{f(x)-f(y)}{x-y}$? [/mm] Bleibt die Ungleichung erhalten? $y$ war beliebig, also...

>  
> Danke im Voraus
>  
> [mm]b^{2}[/mm]  


Bezug
                
Bezug
Schrankensatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:45 Sa 26.07.2014
Autor: bquadrat

Ach ja natürlich stimmt. Der von dir genannte Grenzwert muss natürlich existieren und ist f'(x). Somit ist die Äquivalenz gezeigt :) Dankeschön :)

Bezug
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