Schranken, Supremum, Infimum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Di 06.11.2007 | | Autor: | kasia |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgenden Mengen reeler Zahlen. Ermitteln Sie, welche dieser Mengen nach oben bzw. nach unten beschränkt sind und bestimmen Sie gegebenfalls das Supremum bzw. Infimum. Beweisen Sie alle Ihre Behauptungen!
(a) M1 := {(1/n²) : n [mm] \in \IN \setminus0 [/mm] }
(b) M2 := {(n+5)/(n+3) : n [mm] \in \IN [/mm] }
(c) M3 := [mm] {(2^n)/n : n \in \IN \setminus0 }
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo erstmal!
Nun zu meinem Problem:
zu (a) habe ich mir gedacht, dass sup(M1)=1 und inf(M1)=0 ist bzw dass 1 und 0 obere/untere Schranken sind.
zu (b) sup = 0 und inf = 5/3
zu (c) inf = 2 , es gibt kein sup, da M3 nicht nach oben beschränkt ist
Frage 1: Stimmen diese Überlegungen soweit?
Frage 2: Muss man beweisen, dass zb 1 eine obere Schranke von M1 ist?
Oder soll nur ein Beweis für Supremum, Minimum erfolgen?
Mein Problem ist nämlich, dass ich beispielsweise den Grenzwert nicht benutzen darf - deshalb weiß ich leider auch nicht, wie ein Beweis für Schranken und Supremum/Infimum auszusehen hat!
Hoffe, hier Hilfe zu finden!
Danke schon im Voraus!
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> Betrachten Sie die folgenden Mengen reeler Zahlen.
> Ermitteln Sie, welche dieser Mengen nach oben bzw. nach
> unten beschränkt sind und bestimmen Sie gegebenfalls das
> Supremum bzw. Infimum. Beweisen Sie alle Ihre
> Behauptungen!
>
> (a) [mm] $M_1 [/mm] := [mm] \{(1/n^2) : n \in \IN \setminus0 \}$
[/mm]
>
> (b) [mm] $M_2 [/mm] := [mm] \{(n+5)/(n+3) : n\in \IN \}$
[/mm]
>
> (c) [mm] $M_3 [/mm] := [mm] \{(2^n)/n : n \in \IN \setminus0 \}$
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo erstmal!
>
> Nun zu meinem Problem:
>
> zu (a) habe ich mir gedacht, dass sup(M1)=1 und inf(M1)=0
> ist bzw dass 1 und 0 obere/untere Schranken sind.
> zu (b) sup = 0 und inf = 5/3
Wohl ein kleines Versehen: das Infimum wird doch kaum je grösser als das Supremum sein, nicht?
Also [mm] $\inf(M_2)=1$ [/mm] und [mm] $\sup(M_2)=\frac{5}{3}$, [/mm] denn es ist ja [mm] $\frac{n+5}{n+3}=1+\frac{2}{n+3}$. [/mm] Woran man wegen des streng monoton fallenden Teils [mm] $\frac{2}{n+3}$ [/mm] Supremum und Infimum sogleich ablesen kann.
> zu (c) inf = 2 , es gibt kein sup, da M3 nicht nach oben
> beschränkt ist
Gut, aber zu sagen, dass es kein (eigentliches) Supremum von [mm] $M_3$ [/mm] gibt, ist eigentlich nichts anderes, als die Behauptung zu wiederholen, dass [mm] $M_3$ [/mm] nach oben nicht beschränkt sei (also, streng genommen, kein Argument sonder lediglich eine Wiederholung der Behauptung mit anderen Worten).
Im übrigen hast Du natürlich recht. Aber wie steht es um das Infimum?
Besser wäre hier zu zeigen, dass die Folge [mm] $\frac{2^n}{n}$ [/mm] streng monoton wachsend ist (zum Beweis: bilde die Differenz [mm] $\frac{2^{n+1}}{n+1}-\frac{2^n}{n}$, [/mm] mache Gleichnamig und argumentiere, dass dieser Bruch immer positive Werte annimmt (für [mm] $n\in\IN\backslash\{0\}$).
[/mm]
Ist die strenge Monotonie gezeigt, ist es leicht, das Infimum zu bestimmen: es ist das erste Glied dieser Folge [mm] $\frac{2^{1}}{1}=2$.
[/mm]
>
> Frage 1: Stimmen diese Überlegungen soweit?
> Frage 2: Muss man beweisen, dass zb 1 eine obere Schranke
> von M1 ist?
> Oder soll nur ein Beweis für Supremum,
> Minimum erfolgen?
Das Supremum ist eine obere Schranke, aber eine spezielle: die kleinste obere Schranke. Insofern ist der getrennte Nachweis der Schrankeneigenschaft nicht nötig. Die Frage ist nur, wie Du argumentierst, dass $1$ das Supremum sei. [mm] ($1=\frac{1}{1^2}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{n^2}$ [/mm] ist streng monoton fallend, aber stets [mm] $\geq [/mm] 0$.)
> Mein Problem ist nämlich, dass ich beispielsweise den
> Grenzwert nicht benutzen darf - deshalb weiß ich leider
> auch nicht, wie ein Beweis für Schranken und
> Supremum/Infimum auszusehen hat!
Im allgemeinen Fall geht's nach meinem Gefühl ohne Grenzwertüberlegungen in der Tat nicht. Einfache Fälle dieser Art hast Du ja schon bei diesen Aufgaben, etwa das [mm] $\inf(M_1)=0$ [/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Di 06.11.2007 | | Autor: | kasia |
erstmal DANKE für die Hilfe! Das ging ja SEHR schnell!
habe nun den Tipp zu Aufgabenteil (c) verwendet:
(2^(n+1))/(n+1) - [mm] 2^n/n
[/mm]
= [mm] (2^{n+1}*n-2^n*(n+1)) [/mm] / ((n+1)*n)
= [mm] (2^n*n-2^n)/((n+1)*n)
[/mm]
da n [mm] \in\IN \setminus0 [/mm] ist der Nenner des Bruches für alle n > 0
für n [mm] \ge [/mm] 2 ist der Zähler > 0, da [mm] 2^n*n [/mm] > [mm] 2^n [/mm]
Ist dies nun richtig argumentiert?
Vielen Dank nocheinmal, die Hinweise waren sehr hilfreich!
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