Schnittwinkel und Schnittpunkt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Gerade [mm] \vec{x}= \vektor{-7 \\ 13 \\ 7}+ \vektor{3 \\ 4 \\ 1} [/mm] und die Ebene x-y+3z=13.
Berechnen Sie den Schnittwinkel [mm] \alpha [/mm] und den Schnittpunkt S der Geraden g zur Ebene E (Teilergebnis: S(11,37,13)). |
Hallo,
den Schnittwinkel habe ich folgendermaßen berechnet:
Normalenvektor der Ebene: [mm] \vec{n}= \vektor{1 \\ -1 \\ 3}
[/mm]
Richtungsvektor der Gerade: [mm] \vec{c}= \vektor{3 \\ 4 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{n} \* \vec{c}= \vmat{ \vec{n} } \* \vmat{ \vec{c} }\*cos \alpha
[/mm]
Umgestellt sieht das Ganze dann so aus:
cos [mm] \alpha= \bruch{\vec{n} \* \vec{c}}{\vmat{ \vec{n} } \* \vmat{ \vec{c} }}
[/mm]
Mein Schnittwinkel beträgt: 83,21° Kann das jemand bestätigen?
So und nun zu dem Schnittpunkt... ich bin mir nicht sicher wie ich den Schnittpunkt ausrechnen soll.
Ich habe schon versucht beliebige Punkte in die Ebene einzusetzen und mit diesen Punkten eine Vektorgleichung erstellt. Danach diese Gleichung mit der Gradengleichung gleichgesetzt und den Schnittpunkt ausgerechnet.... nur kam da nie das Ergebnis, welches vorgegeben war, raus. :(
Als zweite Idee habe ich die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen ausgerechnet (über die Achsenabschnittsgleichung) und dann mit diesen Punkten eine Ebenengleichung erstellt. Bin dann mit dem gleichen Schema wie oben fortgefahren, kam jedoch auch nicht der Schnittpunkt raus.
Habt ihr eine Idee wie man das noch anstellen könnte?
Liebe Grüße und vielen Dank im Voraus,
Biene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Biene!
Deinen Schnittwinkel habe ich auch erhalten ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Für den Schnittpunkt schreiben wir die Ebene zunächst um:
$E \ : \ x-y+3z \ = \ [mm] \blue{\vektor{x\\y\\z}}*\vektor{1\\-1\\3} [/mm] \ = \ 13$
Und nun [mm]\vec{x}= \vektor{-7 \\ 13 \\ 7}+r*\vektor{3 \\ 4 \\ 1}[/mm] in die Ebenengleichung einsetzen:
[mm] $\left[\blue{\vektor{-7 \\ 13 \\ 7}+r*\vektor{3 \\ 4 \\ 1}}\right]*\vektor{1\\-1\\3} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-7 \\ 13 \\ 7}*\vektor{1\\-1\\3}+r*\vektor{3 \\ 4 \\ 1}*\vektor{1\\-1\\3} [/mm] \ = \ 13$
Hieraus nun den Parameter $r_$ bestimmen und wieder in die Geradengleichung einsetzen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Sa 20.05.2006 | | Autor: | biene0601 |
Wow, vielen Dank. :) Hab den Schnittpunkt rausbekommen.
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