Schnittwinkel berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Di 22.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Berechne den Schnittwinkel zwischen der Kurve f: [mm] [1,2]-->IR^2, [/mm] f(t)=(2log(t), [mm] (1+t^2)/t) [/mm] und der Kurve [mm] g:IR-->IR^2, [/mm] g(t)=(0,t) |
Hallo,
also zunächst sind ja beide Kurven stetig diffbar und regulär. Jetzt wollte ich den Schnittpunkt bestimmen. Für die erste Komponente geht das auch, da ist t=1. Allerdings ist die Gleichung [mm] \bruch{1+t^2}{t}=t [/mm] ja nicht lösbar. Deshalb weiß ich nicht wie ich den Schnittwinkel bestimmen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Di 22.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechne den Schnittwinkel zwischen der Kurve f:
> [mm][1,2]-->IR^2,[/mm] f(t)=(2log(t), [mm](1+t^2)/t)[/mm] und der Kurve
> [mm]g:IR-->IR^2,[/mm] g(t)=(0,t)
> Hallo,
>
> also zunächst sind ja beide Kurven stetig diffbar und
> regulär. Jetzt wollte ich den Schnittpunkt bestimmen. Für
> die erste Komponente geht das auch, da ist t=1. Allerdings
> ist die Gleichung [mm]\bruch{1+t^2}{t}=t[/mm] ja nicht lösbar.
> Deshalb weiß ich nicht wie ich den Schnittwinkel bestimmen
> soll...
Falls Du die Aufgabenstellung richtig wiedergegeben hast, kann ich nur sagen:
kein Schnittpunkt, so kein Schnittwinkel
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Di 22.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ich habe noch eine ähnliche Aufgabe zu lösen:
Gefragt ist wieder der Schnittwinkel zwischen [mm] f:[0,2]-->IR^2, f(t)=(t^2,t^3) [/mm] und [mm] g:IR-->IR^2, [/mm] g(t)=(t,1)
Hier ist der Schnittpunkt ja (1,1). Dann ist ja ja f'(1,1)=(2,3) und g'(1,1)=(1,1), also <(2,3),(1,1)>=5 und ||f'(1,1)||= [mm] \wurzel{13}, ||g'(1,1)||=\wurzel{2}. [/mm] Also [mm] \alpha=0,197 [/mm] °
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Di 22.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe noch eine ähnliche Aufgabe zu lösen:
> Gefragt ist wieder der Schnittwinkel zwischen
> [mm]f:[0,2]-->IR^2, f(t)=(t^2,t^3)[/mm] und [mm]g:IR-->IR^2,[/mm] g(t)=(t,1)
>
> Hier ist der Schnittpunkt ja (1,1). Dann ist ja ja
> f'(1,1)=(2,3) und
> g'(1,1)=(1,1),
Das stimmt nicht.
FRED
> also <(2,3),(1,1)>=5 und
> ||f'(1,1)||= [mm]\wurzel{13}, ||g'(1,1)||=\wurzel{2}.[/mm] Also
> [mm]\alpha=0,197[/mm] °
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Di 22.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ja , stimmt. Dann erhalte ich 62,6 °
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ja , stimmt. Dann erhalte ich 62,6 °
Ich komm auf [mm] $atan\left({\frac{3}{2}}\right)=56,31^\circ$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Di 22.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Aber ||f'(1,1)||= [mm] \wurzel{13}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Aber ||f'(1,1)||= [mm]\wurzel{13}[/mm]
Wenn schon, dann nur $f'(1)$, oder?
Wäre dir dann [mm] $arccos\left({\frac{2}{\wurzel{13}}}\right)=56,31^\circ$ [/mm] lieber?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 22.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Das ist mir schon lieber, ja.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Das ist mir schon lieber, ja.
Ist aber das Gleiche
Ich hab beim ersten Mal einfach gesehen, dass $g'(1)=(1;0)$ ja waagrecht verläuft und daher nur den Anstiegswinkel von $f'(1)=(2;3)$ berechnet.
Am Ergebnis ändert das natürlich nichts, ist nur einfacher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Di 22.07.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Fred,
ich denke, dass die Definition über den Schnitt $ [mm] \{f(t):t \in [1,2]\} \cap \{g(s): s \in \IR\}$ [/mm] noch die natürlichste Definition für einen Schnittpunkt ist, wenn man dieser die elementare Definition zugrunde legt, dass ein Schnittpunkt der gemeinsame Punkt zweier Kurven ist. (0,2) erfüllt letztere Definition, da (0,2) in der Tat der Punkt ist, der in der Bildmenge beider Kurven existiert. Natürlich kann man argumentieren, dass [mm] (t_0,f(t_0)) [/mm] mit dem Begriff Punkt in obiger elementarer Definition gemeint ist. Dagegen halte ich, dass das Konzept über den Schnitt $ [mm] \{f(t):t \in [1,2]\} \cap \{g(s): s \in \IR\}$ [/mm] am ehesten der Anschauung entspricht, was man unter gemeinsamen Punkt versteht.
Zudem halte ich die Definition über [mm] f(t_0)=g(t_0) [/mm] für zu sehr am Funktionenbegriff orientiert. Für Funktionen macht die Definition Sinn, da die Punkte einer Funktion f bzw. g ja erst durch [mm] (x_0,f(x_0)) [/mm] bzw. [mm] (x_0,g(x_0)) [/mm] gegeben sind und daher insbesondere ein gemeinsames [mm] x_0 [/mm] gefunden werden muss.
Wahrscheinlich handelt es sich bei den beiden Zugängen zu den Schnittpunkten um Varianten, die diskutiert werden dürfen, aber nicht als falsch oder wahr festgelegt werden können. Falls es dagegen eine verbindliche Definition gibt, lasse ich mich gerne eines Besseren belehren.
LG Ladon
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> > Hallo Trikolon,
> >
> > mach dir doch mal ein Bild von den jeweiligen Kurven. g
> > beschreibt gerade die y-Achse des kartesischen
> > Koordinatensystems. Du musst also den Punkt f(t) finden,
> > dessen x-Koordinate 0 ist. Das ist für t=1 gegeben, wie du
> > herausgefunden hast. Die Gleichung
> > [mm]\frac{1+t^2}{t}=t[/mm]
> > ist unsinnig, da du ja nicht mit Funktionen operierst.
> > Mache dir den Unterschied klar!
> > Dein Schnittpunkt ist also (0,f(1)). Das kannst du dir
> > graphisch z.B.
> >
> ![[]](/images/popup.gif) hier
> > klar machen.
> > Wie du den Schnittwinkel berechnest sollte dir jetzt
> klar
> > sein. Er ist ja gerade durch die Tangenten (für g ist die
> > Tangente langweilig ) der beiden Kurven am Schnittpunkt
> > (0,2) gegeben. Ansonsten schau mal in
> >
> Wikipedia.
>
> >
> > MfG
> > Ladon
>
>
> Ich kann Deine Auffasung von "Schnittpunkt" nicht teilen.
>
> Meine Auffassung: die Kurven f und g haben einen
> Schnittpunkt [mm]\gdw[/mm] es ex. ein [mm]t_0 \in[/mm] [1,2] mit
>
> [mm]f(t_0)=g(t_0).[/mm]
>
> Deine Auffassung:
>
> [mm]\{f(t):t \in [1,2]\} \cap \{g(s): s \in \IR\} \ne \emptyset[/mm]
>
> FRED
Hallo Fred,
ich muss mich da der Sichtweise von Ladon anschließen. Das
Ganze erinnert mich an das Problem, das manche Schüler
zuerst bei der Aufgabe haben, den Schnittpunkt zweier
(nicht paralleler !) Geraden in der Ebene zu finden, wenn
diese z.B. so gegeben sind:
$\ [mm] g_1:\ [/mm] \ [mm] \pmat{x\\y}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{0\\4}\ [/mm] +\ [mm] t*\pmat{3\\1}$
[/mm]
$\ [mm] g_2:\ [/mm] \ [mm] \pmat{x\\y}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{-3\\8}\ [/mm] +\ [mm] t*\pmat{1\\-2}$
[/mm]
Wenn man die rechten Seiten einfach gleichsetzt, dann hat das
entstehende Gleichungssystem (zwei Gleichungen, einzige
Unbekannte t) keine Lösung.
Trotzdem haben [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] einen Schnittpunkt. Diesen
berechnet man, indem man den Parameter in der einen
der beiden Geradengleichungen etwa zu u umtauft und
dann das entstehende $\ [mm] 2\times [/mm] 2$ - Gleichungssystem löst.
Bei deiner Betrachtungsweise hast du gewissermaßen zwei
Kurven in einem t-x-y - Raum (also [mm] \IR^3) [/mm] , welche sich
vielleicht nirgends kreuzen. Mit den Kurven in der vorliegenden
Aufgabe sind aber Kurven im [mm] \IR^2 [/mm] gemeint, bei denen
jeweils eine zusätzliche Variable t nur als Kurvenparameter
verwendet wird. Die Parameter auf den beiden Kurven
müssen dabei unabhängig voneinander gewählt werden
können.
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ganze erinnert mich an das Problem, das manche Schüler
> zuerst bei der Aufgabe haben, den Schnittpunkt zweier
> (nicht paralleler !) Geraden in der Ebene zu finden, wenn
> diese z.B. so gegeben sind:
>
> [mm]\ g_1:\ \ \pmat{x\\y}\ =\ \pmat{0\\4}\ +\ t*\pmat{3\\1}[/mm]
>
> [mm]\ g_2:\ \ \pmat{x\\y}\ =\ \pmat{-3\\8}\ +\ t*\pmat{1\\-2}[/mm]
>
Hmm, das ist so eine Übereinkunft, aber formal ist es aber doch eher
[mm]\ g_1(t) =\ \pmat{0\\4}\ +\ t*\pmat{3\\1}[/mm]
etc., denn sonst wäre $t$ kein formaler Parameter mehr und x und y keine Funktionen. Da würde dann tatsächlich (weil gleiche Bezeichnung und keine Funktionszuordnung) gelten, dass die t und sogar auch die x und y genau das Selbe zu sein haben.
In der (Schul)praxis ist man da natürlich weniger formal.
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> > Das Ganze erinnert mich an das Problem, das manche Schüler
> > zuerst bei der Aufgabe haben, den Schnittpunkt zweier
> > (nicht paralleler !) Geraden in der Ebene zu finden,
> > wenn diese z.B. so gegeben sind:
> > [mm]\ g_1:\ \ \pmat{x\\y}\ =\ \pmat{0\\4}\ +\ t*\pmat{3\\1}[/mm]
> > [mm]\ g_2:\ \ \pmat{x\\y}\ =\ \pmat{-3\\8}\ +\ t*\pmat{1\\-2}[/mm]
> Hmm, das ist so eine Übereinkunft, aber formal ist es aber
> doch eher
> [mm]\ g_1(t) =\ \pmat{0\\4}\ +\ t*\pmat{3\\1}[/mm]
> etc.,
> denn sonst wäre [mm]t[/mm] kein formaler Parameter mehr und x und y
> keine Funktionen. Da würde dann tatsächlich (weil gleiche
> Bezeichnung und keine Funktionszuordnung) gelten, dass die
> t und sogar auch die x und y genau das Selbe zu sein
> haben.
> In der (Schul)praxis ist man da natürlich weniger
> formal.
Moment. Es wird da ja auch nicht geschrieben " [mm] g_1 [/mm] = ..... " mit
einem Gleichheitszeichen , sondern nur [mm] "g_1 [/mm] : ......." mit dem
Doppelpunkt, sprachlich seziert also etwa:
Wir haben eine Gerade [mm] g_1 [/mm] , die man durch folgende Parameter-
gleichung darstellen kann:
[mm] $\pmat{x\\y}\ [/mm] =\ .....$
Dass man da auch nicht ständig x(t) und y(t) schreibt, ist ganz
analog zur Praxis (der du wohl ebenfalls nicht ganz abgeneigt
bist), eine Funktionsgleichung zum Beispiel in der Form
$\ y\ =\ sin(x)$
zu schreiben, ohne ständig die Variable zu nennen:
$\ y(x)\ =\ sin(x)$
Wenn man dein Konzept von formaler Vollständigkeit durch-
ziehen möchte, müsste man ohnehin außerdem stets noch
den Definitionsbereich mit angeben, also etwa:
$\ y(x)\ =\ [mm] sin(x)\quad ,\quad (\,x\in [0\,...\, 2\,\pi]\,)$
[/mm]
Wenn du dich gegen die Schreibweise von Geradengleichungen
in der Form
[mm]\ g:\ \ \pmat{x\\y}\ =\ \pmat{x_0\\y_0}\ +\ t*\pmat{d_x\\d_y}[/mm]
wehren möchtest, dann müsstest du mit deinem Anliegen
Hunderte von Lehrbuchverlagen ansprechen ...
Und auf meine Unterstützung dabei könntest du nicht rechnen,
da ich die Schreibweise für durchaus gerechtfertigt und angemessen
halte.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:07 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Wenn du dich gegen die Schreibweise von Geradengleichungen
> in der Form
>
> [mm]\ g:\ \ \pmat{x\\y}\ =\ \pmat{x_0\\y_0}\ +\ t*\pmat{d_x\\d_y}[/mm]
>
> wehren möchtest, dann müsstest du mit deinem Anliegen
> Hunderte von Lehrbuchverlagen ansprechen ...
Ja, natürlich ist es "üblich" es so zu schreiben und es mag im Kontext auch sinnvoll sein, formal korrekt ist es trotzdem nicht.
Und gegen Windmühlen kämpfen möchte ich sicher nicht, zumal ich die Schreibweise ja selbst auch verwende Man sollte sich halt bewusst sein, was man in Wirklichkeit meint.
Auch Bezeichnungen wie $y$ ist die "abhängige Variable" bei $y=sin(x)$ sind üblich und trotzdem hinterfragenswert.
Spätestens wenn du ein CAS verwendest wirst du (vielleicht schmerzlich) darauf aufmerksam gemacht, dass
$y(x):=sin(x)$
ganz etwas anderes ist als
$y:=sin(x)$.
Auch wenn die Syntax von System zu System unterschiedlich sein mag, zwischen Variablen und Funktionen unterscheiden dann ja doch die meisten.
Gruß RMix
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> Man sollte sich halt bewusst sein, was man in Wirklichkeit meint.
Dies kann ich voll und ganz unterstützen, und zwar nicht nur
in der Mathematik.
Auch vielen in der Politik und in der Wirtschaft Tätigen sollte
diese Maxime wieder nähergebracht werden.
> Spätestens wenn du ein CAS verwendest wirst du (vielleicht
> schmerzlich) darauf aufmerksam gemacht, dass
>
> [mm]y(x):=sin(x)[/mm]
>
> ganz etwas anderes ist als
>
> [mm]y:=sin(x)[/mm].
CAS verwende ich natürlich auch schon seit langer Zeit.
Und einer der Gründe, dass ich mich dafür einsetzte, auch
im Gymnasium (naturwissenschaftlicher Typus) CAS-Rechner
einzuführen und zu verwenden, war ziemlich genau der,
dass einen das CAS zu einer absolut korrekten Syntax
geradezu zwingt (ohne dass die manchmal lästige Pflicht,
auf Syntaxfehler aufmerksam zu machen, ständig an mir
als Lehrer hängenbleibt).
LG , Al-Chwarizmi
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Und wenn man ganz pedantisch sein will, dann muß man die Gerade [mm]g[/mm] mit dem Stützvektor [mm]\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}[/mm] und dem Richtungsvektor [mm]\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}[/mm] wohl so schreiben:
[mm]g = \left\{ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \left| \ \exists \, \lambda \in \mathbb{R}: \ (x,y) = (a,b) + \lambda (u,v) \ \right. \right\}[/mm]
Spätestens da geht einem die ganze Pedanterie auf die Nerven, und man schreibt einfach
[mm]g: \ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}[/mm]
Ich habe die letzte Schreibweise nie anders verstanden als eine lässige Kurzform für die korrekte pedantische Version.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Und wenn man ganz pedantisch sein will, dann muß man die
> Gerade [mm]g[/mm] mit dem Stützvektor [mm]\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}[/mm]
> und dem Richtungsvektor [mm]\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}[/mm]
> wohl so schreiben:
>
> [mm]g = \left\{ \ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \left| \ \exists \, \lambda \in \mathbb{R}: \ (x,y) = (a,b) + \lambda (u,v) \ \right. \right\}[/mm]
>
> Spätestens da geht einem die ganze Pedanterie auf die
> Nerven, und man schreibt einfach
>
> [mm]g: \ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich habe die letzte Schreibweise nie anders verstanden als
> eine lässige Kurzform für die korrekte pedantische
> Version.
Geht mir genau so. Solange man im Hinterkopf hat, worum es geht ist da ja auch mehr als sinnvoll.
Allzu präzise mathematische Formulierungen können auch den Spaß an der Mathematik ziemlich verderben, aber manchmal ist es auch nötig, diese Keule auszupacken.
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Das sehe ich genau so. Auch Formulierungen wie
der Kreis [mm]x^2 + y^2 = 9[/mm]
die Halbebene [mm]y > 0[/mm]
der Halbraum [mm]y > 0[/mm]
sind absolut genommen unsinnig, in einer bestimmten mathematischen Umgebung aber durchaus sinnvolle Kurzformen zur Beschreibung gewisser Punktmengen, die man, wie in meinem vorigen Beitrag dargestellt, formalisieren kann (und wenn es erforderlich ist, auch: muß). Der Kontext sagt jeweils, was gemeint ist. Und das kann, wie die beiden letzten Beispiele zeigen, durchaus Unterschiedliches sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Ich denke, dass die Verwirrung hier entsteht, weil $t$ ja nur ein formaler Parameter von $f$ und $g$ ist. Dieser koppelt keinesfalls die beiden Kurven.
Der Schnittpunkt bezieht sich ausschließlich auf die Bildmenge der beiden Funktionen, also nicht auf den Parameterbereich.
Gesucht ist also ein aktueller Parameter [mm] $t_1\in{[1;2]}$ [/mm] und ein (aller Wahrscheinlichkeit nach von [mm] $t_1$ [/mm] verschiedener) aktueller Parameter [mm] $t_2\in{\IR}$ [/mm] für die gilt: [mm] $f(t_1)=g(t_2)$.
[/mm]
Dazu könntest du natürlich formal ganz stur das Gleichungssystem
[mm] $\begin{cases} 2*log(t_1)=0 \\ \frac{1+t_1^2}{t_1}=t_2 \end{cases}
[/mm]
lösen, aber wie Ladon schon bemerkt hat ist der Fall hier ja besonders einfach, sodass du auch durch bloßes Hinschauen auf den Schnittpunkt
$f(1)=g(2)=(0; 2)$
kommst.
Gruß Rmix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Di 22.07.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo rmix,
> Ich denke, dass die Verwirrung hier entsteht, weil [mm]t[/mm] ja nur
> ein formaler Parameter von [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] ist. Dieser koppelt
> keinesfalls die beiden Kurven.
> Der Schnittpunkt bezieht sich ausschließlich auf die
> Bildmenge der beiden Funktionen, also nicht auf den
> Parameterbereich.
>
> Gesucht ist also ein aktueller Parameter [mm]t_1\in{[1;2]}[/mm] und
> ein (aller Wahrscheinlichkeit nach von [mm]t_1[/mm] verschiedener)
> aktueller Parameter [mm]t_2\in{\IR}[/mm] für die gilt:
> [mm]f(t_1)=g(t_2)[/mm].
>
> Dazu könntest du natürlich formal ganz stur das
> Gleichungssystem
> [mm]$\begin{cases} 2*log(t_1)=0 \\ \frac{1+t_1^2}{t_1}=t_2 \end{cases}[/mm]
>
> lösen, aber wie Ladon schon bemerkt hat ist der Fall hier
> ja besonders einfach, sodass du auch durch bloßes
> Hinschauen auf den Schnittpunkt
> [mm]f(1)=g(2)=(0; 2)[/mm]
> kommst.
Du nimmst mir das Wort aus dem Munde 
LG Ladon
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo rmix,
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> > Ich denke, dass die Verwirrung hier entsteht, weil [mm]t[/mm] ja nur
> > ein formaler Parameter von [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] ist. Dieser koppelt
> > keinesfalls die beiden Kurven.
> > Der Schnittpunkt bezieht sich ausschließlich auf die
> > Bildmenge der beiden Funktionen, also nicht auf den
> > Parameterbereich.
> >
> > Gesucht ist also ein aktueller Parameter [mm]t_1\in{[1;2]}[/mm] und
> > ein (aller Wahrscheinlichkeit nach von [mm]t_1[/mm] verschiedener)
> > aktueller Parameter [mm]t_2\in{\IR}[/mm] für die gilt:
> > [mm]f(t_1)=g(t_2)[/mm].
> >
> > Dazu könntest du natürlich formal ganz stur das
> > Gleichungssystem
> > [mm]$\begin{cases} 2*log(t_1)=0 \\ \frac{1+t_1^2}{t_1}=t_2 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > lösen, aber wie Ladon schon bemerkt hat ist der Fall hier
> > ja besonders einfach, sodass du auch durch bloßes
> > Hinschauen auf den Schnittpunkt
> > [mm]f(1)=g(2)=(0; 2)[/mm]
> > kommst.
>
> Du nimmst mir das Wort aus dem Munde
>
> LG Ladon
Nun, ganz so einfach wie ich das da locker aus der Hüfte formuliert habe ist es ja nicht wirklich. Die Sache steht und fällt mit der Definition von "Schnittpunkt".
Was ist den zB der Schnittpunkt von $f(x)=x$ und [mm] $g(x)=x^2$ [/mm] ? Soll das $x$ jetzt mitspielen und koppeln dürfen oder suchen wir nur ein [mm] $x_1$ [/mm] und ein [mm] $x_2$ [/mm] mit [mm] $f(x_1)=g(x_2)$ [/mm] ?
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Di 22.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo rmix,
> >
> > > Ich denke, dass die Verwirrung hier entsteht, weil [mm]t[/mm] ja nur
> > > ein formaler Parameter von [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] ist. Dieser koppelt
> > > keinesfalls die beiden Kurven.
> > > Der Schnittpunkt bezieht sich ausschließlich auf
> die
> > > Bildmenge der beiden Funktionen, also nicht auf den
> > > Parameterbereich.
> > >
> > > Gesucht ist also ein aktueller Parameter [mm]t_1\in{[1;2]}[/mm] und
> > > ein (aller Wahrscheinlichkeit nach von [mm]t_1[/mm] verschiedener)
> > > aktueller Parameter [mm]t_2\in{\IR}[/mm] für die gilt:
> > > [mm]f(t_1)=g(t_2)[/mm].
> > >
> > > Dazu könntest du natürlich formal ganz stur das
> > > Gleichungssystem
> > > [mm]$\begin{cases} 2*log(t_1)=0 \\ \frac{1+t_1^2}{t_1}=t_2 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > lösen, aber wie Ladon schon bemerkt hat ist der Fall hier
> > > ja besonders einfach, sodass du auch durch bloßes
> > > Hinschauen auf den Schnittpunkt
> > > [mm]f(1)=g(2)=(0; 2)[/mm]
> > > kommst.
> >
> > Du nimmst mir das Wort aus dem Munde
> >
> > LG Ladon
>
> Nun, ganz so einfach wie ich das da locker aus der Hüfte
> formuliert habe ist es ja nicht wirklich. Die Sache steht
> und fällt mit der Definition von "Schnittpunkt".
>
> Was ist den zB der Schnittpunkt von [mm]f(x)=x[/mm] und [mm]g(x)=x^2[/mm] ?
> Soll das [mm]x[/mm] jetzt mitspielen und koppeln dürfen oder suchen
> wir nur ein [mm]x_1[/mm] und ein [mm]x_2[/mm] mit [mm]f(x_1)=g(x_2)[/mm] ?
Da haben wir den Salat.
Wenn das x "mitspielt und koppeln darf" haben wir 2 Schnittpunkt: (0,0) und (1,1).
Wenn nicht, so ist
[mm] \{f(t):t \in \IR\} \cap \{g(s):s \in \IR \}= [/mm] [0, [mm] \infty).
[/mm]
"f und g haben also unendlich viele Schnittpunkte" ?
FRED
>
> Gruß RMix
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > Was ist den zB der Schnittpunkt von [mm]f(x)=x[/mm] und [mm]g(x)=x^2[/mm] ?
> > Soll das [mm]x[/mm] jetzt mitspielen und koppeln dürfen oder suchen
> > wir nur ein [mm]x_1[/mm] und ein [mm]x_2[/mm] mit [mm]f(x_1)=g(x_2)[/mm] ?
>
> Da haben wir den Salat.
>
> Wenn das x "mitspielt und koppeln darf" haben wir 2
> Schnittpunkt: (0,0) und (1,1).
>
> Wenn nicht, so ist
>
> [mm]\{f(t):t \in \IR\} \cap \{g(s):s \in \IR \}=[/mm] [0, [mm]\infty).[/mm]
>
> "f und g haben also unendlich viele Schnittpunkte" ?
>
Genau so ist es. Es hängt also wieder einmal an der Definition eines Begriffs der "eh klar" ist.
Ich denke mittlerweile, wenn ich mir die Originalangabe nochmals zu Gemüte führe, dass es hier gar nicht so sehr an der Definition von "Schnittpunkt" liegt sondern vielmehr an der Definition von "Kurve" bzw. den Raum in dem sie eingebettet ist.
Es geht darum, ob es sich bei
$f: [mm] [1;2]_\IR\to\IR^2$ [/mm] mit [mm] $f(t)=\left({2*log(t);\;\frac{1+t^2}{t} }\right)$
[/mm]
um eine in den dreidimensionalen Raum (mit $t$ als einer Dimension) eingebettete Kurve handelt, wie von Fred97 angenommen, oder um die Parameterdarstellung einer Kurve im [mm] \IR^2.
[/mm]
Ehrlich gesagt käme ich bei dieser Angabe nicht auf die Idee einer Einbettung in drei Dimensionen (da haben die beiden Raumkurven natürlich keinen Schnittpunkt), aber vielleicht ist das doch nicht ganz so abwegig!?
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Ich stimme rmix22 vollumfänglich zu.
Schnittpunkte von Kurven sind gemeinsame Punkte ihrer Spuren. Eine Kurve ist sowieso nicht mit ihrer Parameterdarstellung gleichzusetzen. Eine gängige Definition ist es, die Kurve als Äquivalenzklasse von Parameterdarstellungen anzusehen, wobei zwei Parameterdarstellungen [mm]\gamma, \, \delta[/mm] als äquivalent angesehen werden, wenn [mm]\delta = \gamma \circ \varphi[/mm] gilt, wobei [mm]\varphi: [c,d] \to [a,b][/mm] eine stetige streng monoton wachsende Funktion ist, die das Parameterintervall [mm][c,d][/mm] von [mm]\delta[/mm] auf das Parameterintervall [mm][a,b][/mm] von [mm]\gamma[/mm] abbildet. Beim praktischen Rechnen muß man natürlich immer auf eine konkrete Parameterdarstellung zurückgreifen, so daß der Eindruck entstehen kann, die Parameterdarstellung selbst sei schon die Kurve.
Übrigens macht man das schon bei Parameterdarstellungen von Geraden in der Schule so. Beim Gleichsetzen muß man auch die Parameter verschieden bezeichnen, selbst wenn sie zuvor gleich benannt waren. Und hier ist das nichts anderes, nur daß man ein nichtlineares Gleichungssystem in den beiden Parametern erhält.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:13 Mi 23.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich war wohl gestern etwas neben der Spur bei meiner Auffassung von "Schnittpunkt" .....
Worum ging es ?
Seien [mm] X_1,X_2 [/mm] und $Y$ nichtleere Mengen und
$ [mm] f_i:X_i \to [/mm] Y$, [mm] \quad [/mm] $(i=1,2)$,
zwei Abbildungen.
1. Wir nennen ein [mm] $y_0 \in [/mm] Y$ einen "Schnittpunkt 1. Art von [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] ", wenn
[mm] $y_0 \in f_1(X_1) \cap f_2(X_2) [/mm] $
gilt.
Sei [mm] G_i=\{(x,f_i(x)): x \in X_i\}, \quad [/mm] $(i=1,2)$.
2. Sei [mm] $X_1 \cap X_2 \ne \emptyset$. [/mm] Wir nennen ein [mm] $z_0 \in (X_1 \cap X_2) \times [/mm] Y$ einen "Schnittpunkt 2. Art von [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] ", wenn
[mm] $z_0 \in G_1 \cap G_2$
[/mm]
gilt.
Selbstverständlich sind Schnittpunkte 1. Art die "sinnvolleren".
Gruß FRED
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