Schnittpunkte und Parallele < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Sa 23.02.2008 | | Autor: | Lisa_88 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion mit [mm] f(x)=(x²-1)\* e^{-x}
[/mm]
a)Berechne die Schnittpunkte der Funktion mit ihrer Ableitung f´.
b)Zwischen den beiden Schnittpunkten schneidet eine Parallele zur y-Achse die Schaubilder von f und f´ in den Punkten P und Q. Untersuche, ob es eine Parallele gibt, für welche die Länge der Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] maximal wird. Gib die Länge der Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] gegebenenfalls an. |
Hallo!
Also ich habe die Ableitung der Funktion f bestimmt.
Die ist bei mir vereinfacht: [mm] f´(x)=2xe^{-x}(-x²+2x+1)
[/mm]
Dann habe ich die Funktionen f und f´ gleichgesetzt und mithilfe der Mitternachtsformel dann die Schnittpunkte bestimmt. Die sind bei mir gerundet:
x= -0,62
und x= 1,62!
So, das war dann die Teilaufgabe a)!
Aber für die Aufgabe b) habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich da rangehen soll!
Kann mir da bitte jemand helfen?!
Danke!
Grüße Lisa
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> Gegeben sei die Funktion mit [mm]f(x)=(x²-1)\* e^{-x}[/mm]
>
> a)Berechne die Schnittpunkte der Funktion mit ihrer
> Ableitung f´.
> b)Zwischen den beiden Schnittpunkten schneidet eine
> Parallele zur y-Achse die Schaubilder von f und f´ in den
> Punkten P und Q. Untersuche, ob es eine Parallele gibt, für
> welche die Länge der Strecke [mm]\overline{PQ}[/mm] maximal wird.
> Gib die Länge der Strecke [mm]\overline{PQ}[/mm] gegebenenfalls an.
> Hallo!
> Also ich habe die Ableitung der Funktion f bestimmt.
> Die ist bei mir vereinfacht: [mm]f´(x)=2xe^{-x}(-x²+2x+1)[/mm]
Hallo,
ich vermute, daß Du Dich lediglich vertippt hast, die Ableitung heißt [mm] f'(x)=e^{-x}(-x²+2x+1).
[/mm]
> Aber für die Aufgabe b) habe ich überhaupt keine Ahnung
> wie ich da rangehen soll!
> Kann mir da bitte jemand helfen?!
Ich würde mir die beiden Funktionen in dem fraglichen Bereich jetzt erstmal aufzeichnen/plotten, man versteht dann besser was zu tun ist.
Es geht jetzt um eine Parallele zur y-Achse. (Schiebe ein Geodreieck.)
Du siehst, daß solche Parallele jeweils einen Schnittpunkt mit f und mit f' hat. Interessieren tut nun die Länge der Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten, und zwar im Bereich des Schnittgebildes, dieser "fliegenden Untertasse".
Berechne für x zwischen den beiden Schnittpunkten jeweils die Länge L(x) der Strecke zwischen den beiden Werten f(x) und f'(x), stell also die Funktionsgleichung für L(x) auf und optimiere.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 So 24.02.2008 | | Autor: | Lisa_88 |
Oh ja, stimmt! Bei der Ableitung habe ich mich nur vertippt!
Ja ok, habe ich bis jetzt alles so verstanden! Aber wie stelle ich die Funktion L(x) auf? Ich weiß gerade überhaupt nicht wie ich die Länge der Strecke zwischen zwei Funktionen überhaupt berechne! Also eine allgemeine Formel oder so!
Ich glaube ich stehe gerade irgendwie "aufm Schlauch"!
Kannst du es mir vielleicht nochmal näher erklären?
Grüße Lisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 So 24.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Parallele zur y Achse schneidet doch zwischen den 2 Schnittpunkten x1 und x2 die Graphen von f(x) und f'(x) z. Bsp bei x=1 dort wäre dann die länge f'(1)-f(1)
bei x1 ist die Länge L(x1)=f'(x1)-f(x1)=0 bei x2 wieder 0 dazwischen muss ein max liegen. (ich hab die kurven nicht im Kopf, ich nahm an f' liegt über f, sonst umgekehrt.) mit L(x)=f'(x)-f(x)
eigentlich ist das doch nicht schwer zu sehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 So 24.02.2008 | | Autor: | Lisa_88 |
Hi!
Ok, klaro, eigentlich nicht so schwer! Also ich habe jetzt die neue Funktion L(x) aufgestellt! Die geht f´(x)-f(x)!
Die ist dann [mm] L(x)=2xe^{-x}-2e^{-x}x²+2e^{-x}
[/mm]
Dann berechnet man das Maximum der Funktion! Das ist an der Stelle x=0 und y=2!
Heißt das das die Strecke dann 2 LE lang ist?! Und sind die Punkte P und Q dann an den Stellen (0/-1) und (0/1)?!
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> Hi!
> Ok, klaro, eigentlich nicht so schwer! Also ich habe jetzt
> die neue Funktion L(x) aufgestellt! Die geht f´(x)-f(x)!
> Die ist dann [mm]L(x)=2xe^{-x}-2e^{-x}x²+2e^{-x}[/mm]
> Dann berechnet man das Maximum der Funktion! Das ist an
> der Stelle x=0 und y=2!
Hallo,
die Ableitung habe ich nicht nachgerechnet, die Funktion L(x) stimmt.
> Heißt das das die Strecke dann 2 LE lang ist?!
Genau.
> Und sind
> die Punkte P und Q dann an den Stellen (0/-1) und (0/1)?!
Ja.
Gruß v. Angela
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