Schnittpunkte eine Geraden mit < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für jedes t>0 ist die Funktion ft gegeben durch ft(x)= (1/8)x³-(t/4)x²+(t/8)x.
Die Gerade mit der Steigung m durch den Punkt T(6|0) auf der Kurve K6 (t=6!)
sei gm. Bestimme diejenigen Werte von m, für die gm mit K6 drei Punkte gemeinsam hat. |
Ich habe ft(x) [mit t=6] gleichgesetzt mit mx+c.
Da ich den Punkt 6|0 weis habe ich als geradegeleichung nun m*6+c eingesetzt.
Aber wie ich es dreh und wende bekomme ich keinen vernpnftigen Lösungsansatz hin, bin am verzweifeln. Als Taschenrechner habe ich den Casio Classpad 300Plus.
Könnt ihr mir helfen?
Danke im VOrraus schonma..
DaHans
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Hi, DaHans,
> Für jedes t>0 ist die Funktion ft gegeben durch ft(x)=
> (1/8)x³-(t/4)x²+(t/8)x.
>
> Die Gerade mit der Steigung m durch den Punkt T(6|0) auf
> der Kurve K6 (t=6!)
Da stimmt schon mal was nicht:
Der Punkt T(6;0) liegt gar nicht auf der Kurve K6.
Sollte es beim letzten Summanden vielleicht [mm] (t^{2}/8)x [/mm] heißen?!
> sei gm. Bestimme diejenigen Werte von m, für die gm mit
> K6 drei Punkte gemeinsam hat.
> Ich habe ft(x) [mit t=6] gleichgesetzt mit mx+c.
> Da ich den Punkt 6|0 weis habe ich als geradegeleichung
> nun m*6+c eingesetzt.
Das ist doch keine Geradengleichung!
Da die Steigung m sein soll und der Punkt P(6;0) draufliegt, muss die Gleichung entweder
(I) y = m(x-6) oder (II) y=mx - 6m lauten!
Wenn Du's nun gleichsetzt, solltes Du den Funktionsterm von f6 in ausgeklammerter Form
verwenden, soweit möglich sogar in Linearfaktoren zerlegen.
Die Geradengleichung in der Form (I) ist ebenfalls von Vorteil!
Nun versuch's nochmal!
mfG!
Zwerglein
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jaa das ist richtig, es heißt (t²/8).
die Geradengleichung heißt doch normal
y=mx+c ; und man weiß dass die Gerade durch den Punkt T(6|0) geht.
wie kommt man dann auf die Geradengleichungen von dir?
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Wie mache ich jetzt weiter, habe geblickt wie du auf die Geradengleichung kommst, nur verstehe ich noch nicht wo der y-achsenabschnitt in den 2 Formeln von dir auftaucht?
Komme aber immer noch nicht weiter..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 So 21.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast ja:
[mm] f_{t}(x)=\bruch{x^{3}}{8}-\bruch{tx^{2}}{4}+\bruch{t^{2}x}{8}
[/mm]
Also:
[mm] f_{\red{6}}(x)=\bruch{x^{3}}{8}-\bruch{6x^{2}}{4}+\bruch{36x}{8}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^{3}}{8}-\bruch{3x^{2}}{2}+\bruch{9x}{2}
[/mm]
Und jetzt suchst du Schnittpunkte von [mm] \bruch{x^{3}}{8}-\bruch{3x^{2}}{2}+\bruch{9x}{2} [/mm] und g(x)=m(x-6)
Also setze beide erstmal gleich,
[mm] \bruch{x^{3}}{8}-\bruch{3x^{2}}{2}+\bruch{9x}{2}=m(x-6)
[/mm]
Wenn du dir jetzt klar machst, dass 6 auch eine Nullstelle von [mm] \bruch{x^{3}}{8}-\bruch{3x^{2}}{2}+\bruch{9x}{2} [/mm] ist, kannst du eine Polynomdivision durchführen, also
[mm] \left(\bruch{x^{3}}{8}-\bruch{3x^{2}}{2}+\bruch{9x}{2}\right):(x-6)=\Box
[/mm]
Somit gilt:
[mm] \bruch{x^{3}}{8}-\bruch{3x^{2}}{2}+\bruch{9x}{2}
[/mm]
[mm] =(x-6)*\Box
[/mm]
Also kannst du die Gleichung
[mm] \bruch{x^{3}}{8}-\bruch{3x^{2}}{2}+\bruch{9x}{2}=m(x-6)
[/mm]
umschreiben zu:
[mm] (x-6)*\Box=m(x-6)
[/mm]
[mm] \gdw \Box=m
[/mm]
Und bei dieser Gleichung (das sollte eine quadratische Gl. sein) kannst du jetzt mal versuchen, die weiteren Schnittpunkte zu ermitteln und evtl., welche Bedingung dabei für m gelten soll.
Marius
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Ich habe das Polynomdivisionverfahren durchgeführt und habe nun x²/8+6x/8 rausbekommen. Was ist das jetzt genau? und wieso durfte ich das m bei der Division einfach weglassen. ist mein Ergebnis jetzt m? Wenn ja, wie geht es dann weiter, habe schon alles mögliche ausprobiert.
Könnte es sein dass man gar nicht viel rechnen muss, sondern einfach die f6(x) mit g(x) gleichsetzt, alles auf eine seite bringt und dann schaut für welches x es drei nullstellen gibt, also mit dem "solve" Befehl?
Ich habe so rausbekommen:
für m>0 hat die Gerade g(x) immer drei Schnittpunkte, stimmt das soweit, wenn ja wäre die Aufgabe ja fast nichts zum rechnen, man müsste lediglich die Geradengleichung anfertigen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Mo 22.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst doch wissen, für welche m es drei Nullstellen gibt, nicht für welche x.
Was dein solve Befehl löst weiss ich nicht, wenn da x und m in der Gleichung steht?
wenn du deine Gleichung [mm] f_6(x)=m(x-6) [/mm] durch x-6 auf beiden Seiten geteilt hast, bleibt natürlich m auf einer Seite stehen: Dann hast du eine Quadratischr Gleichung mit noch m drin. wenn die diskriminante unter der Wurzel >0 ist hast du 3 nullstellen (die einew bei 6 hattest du ja schon. wenn die Wurzel=0 ist hast du 2 wenn was negatives drin steht nur eine.
mit m positiv hast du immer 3 nst. das ist richtig, aber für welche negativen dann noch?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 So 21.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast y=mx+c
Und du weisst, dass für x=6 der Wert y00 herauskommen soll.
Also:
0=6m+c
[mm] \gdw [/mm] c=-6m
Also sieht die Gerade wie folgt aus:
y=mx+c=mx-6m=m(x-6)
Marius
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