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| Aufgabe | Sei a Element R. Gegeben sind die folgenden beiden Ebenen in [mm] R^3:
[/mm]
[mm] E_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+p*\begin{pmatrix} 1 \\ -a^2 \\ 0 \end{pmatrix}+q*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2a^2 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] E_2=x_1+x_2+x_3=a
[/mm]
Bestimmen Sie den Schnitt F:= [mm] E_1\cap E_2\. [/mm] |
Zuerst habe ich [mm] E_2 [/mm] in Parameterform gebracht:
[mm] E_2=\begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -a \\ a \\ 0 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} -a \\ 0 \\ a \end{pmatrix}
[/mm]
Dann [mm] E_1=E_2 [/mm] gesetzt und in lineare Gleichungssystem übersetzt:
1+p+q=a-ar-as
-a^2p+q=ar
-2a^2q=sa
Dann zweite und dritte Gleichungen in erste eingesetzt:
1+r+q=a+a^2r-q+2a^2q
nach paar Umformungen kommt raus:
[mm] r+2q=-\bruch{1}{a+1} [/mm]
so.. und jetzt komme ich nicht weiter, wie komme ich auf Schnittgerade F?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 So 16.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Sei a Element R. Gegeben sind die folgenden beiden Ebenen
> in [mm]R^3:[/mm]
> [mm]E_1= \begin{pmatrix} 1 \\
0 \\
0 \end{pmatrix}+p*\begin{pmatrix} 1 \\
-a^2 \\
0 \end{pmatrix}+q*\begin{pmatrix} 1 \\
1 \\
-2a^2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]E_2=x_1+x_2+x_3=a[/mm]
> Bestimmen Sie den Schnitt F:= [mm]E_1\cap E_2\.[/mm]
> Zuerst habe
> ich [mm]E_2[/mm] in Parameterform gebracht:
> [mm]E_2=\begin{pmatrix} a \\
0 \\
0 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -a \\
a \\
0 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} -a \\
0 \\
a \end{pmatrix}[/mm]
>
> Dann [mm]E_1=E_2[/mm] gesetzt und in lineare Gleichungssystem
> übersetzt:
> 1+p+q=a-ar-as
> -a^2p+q=ar
> -2a^2q=sa
> Dann zweite und dritte Gleichungen in erste eingesetzt:
> 1+r+q=a+a^2r-q+2a^2q
> nach paar Umformungen kommt raus:
> [mm]r+2q=-\bruch{1}{a+1}[/mm]
Diese Umformungen hat ich mal nicht weiter geprüft.
> so.. und jetzt komme ich nicht weiter, wie komme ich auf
> Schnittgerade F?
Gar nicht. Ein Zusammenhang zwischen den Parametern zweier Ebenen hilft dir nicht.
Eleganter wäre [mm] E_{1} [/mm] umzuformen:
[mm] $\vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+p*\begin{pmatrix} 1 \\ -a^2 \\ 0 \end{pmatrix}+q*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2a^2 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] =\begin{pmatrix} 1+p+q \\ -a^{2}p+q \\ -2a^{2}q \end{pmatrix}
[/mm]
Setzen wir das in [mm] E_{2} [/mm] ein, bekommst du:
[mm] \underbrace{1+p+q}_{x_{1}}+\underbrace{(-a^{2}p)}_{x_{2}}+\underbrace{-2a^{2}q}_{x_{3}}=a
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 1+(1-a^2)p+(1-2a^{2})q=a
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow (1-a^2)p+(1-2a^{2})q=a-1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow (1-2a^{2})q=a-1-(1-a^2)p
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow (1-2a^{2})q=(a-1)-((1-a)(1+a))p
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow (1-2a^{2})q=(a-1)-(-(a-1)(1+a))p
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow (1-2a^{2})q=(a-1)+((a-1)(1+a))p
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow (1-2a^{2})q=(a-1)(1+(1+a))p
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow (1-2a^{2})q=(a-1)(2+a)p
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow q=\frac{(a-1)(2+a)}{1-2a^{2}}p
[/mm]
Setze das nun in [mm] E_{1} [/mm] ein, dann bekommst du:
[mm] $\vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -a^2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{(a-1)(2+a)}{1-2a^{2}}p\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2a^2 \end{pmatrix}$
[/mm]
Das ist schon deine Schnittgerade, das siehst du, wenn du umformst:
[mm] $\vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -a^2 \\ 0 \end{pmatrix}+\frac{(a-1)(2+a)}{1-2a^{2}}p\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2a^2 \end{pmatrix}$
[/mm]
$= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -a^2 \\ 0 \end{pmatrix}+p\cdot\begin{pmatrix} \frac{(a-1)(2+a)}{1-2a^{2}} \\ \frac{(a-1)(2+a)}{1-2a^{2}} \\ -2a^2\cdot\frac{(a-1)(2+a)}{1-2a^{2}} \end{pmatrix}$
[/mm]
$= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+p\cdot\left[\begin{pmatrix} 1 \\ -a^2 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \frac{(a-1)(2+a)}{1-2a^{2}} \\ \frac{(a-1)(2+a)}{1-2a^{2}} \\ -2a^2\cdot\frac{(a-1)(2+a)}{1-2a^{2}} \end{pmatrix}\right]$
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 So 16.12.2012 | | Autor: | ValeriaMM |
Danke schön!!! Wieso bin ich nur nicht darauf gekommen! Denke immer komplizierter als es in wirklichkeit ist..
Danke noch mal!
LG Valeria
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Mir ist jetzt aufgefallen, dass du beim Einsetzen [mm] E_1 [/mm] in [mm] E_2 [/mm] eine q vergessen hast (bei dem [mm] x_2), [/mm] so dass die rechnung leider danach falsch ist..
ich hab versucht dies zu rechnen bzw. umformen, und komme wieder auf meine Ergebnisse davor: [mm] p+2q=-\bruch{1}{a+1} [/mm]
Hier ist die Rechnung (vllt. habe ich irgendwo Fehler gemacht):
[mm] E_1 [/mm] in [mm] E_2 [/mm] eingesetzt:
1+p+q-a^2p+q-2a^2q=a
[mm] p(1-a^2)+2q(1-a^2)=a-1
[/mm]
[mm] (p+2q)(1-a^2)=a-1
[/mm]
[mm] p+2q=-\bruch{1}{1+a} [/mm]
Man kann jetzt nach q aufösen [mm] (q=-\bruch{1}{2(a+1)} -\bruch{1}{2}p [/mm] ) und q in [mm] E_1 [/mm] einsetzen:
[mm] x=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +p*\begin{pmatrix} 1 \\ -a^2 \\ 0 \end{pmatrix}+(-\bruch{1}{2(a+1)}-\bruch{1}{2}*p)*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2a^2 \end{pmatrix}
[/mm]
So und weiter bin ich mir nicht sicher, ob man es so machen kann:
[mm] X=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +p*\begin{pmatrix} 1 \\ -a^2 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -\bruch{1}{2(a+1)} \\ -\bruch{1}{2(a+1)} \\ \bruch{a^2}{a+1} \end{pmatrix}+p*\begin{pmatrix} -\bruch{1}{2} \\ -\bruch{1}{2} \\ a^2 \end{pmatrix}
[/mm]
und [mm] F:=\begin{pmatrix} 1-\bruch{1}{2(a+1)} \\ -\bruch{1}{2(a+1)} \\ \bruch{a^2}{a+1} \end{pmatrix}+p*\begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ -a^2-\bruch{1}{2} \\ a^2 \end{pmatrix}
[/mm]
ist es richtig?
LG Valeria
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Mo 17.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Mir ist jetzt aufgefallen, dass du beim Einsetzen [mm]E_1[/mm] in
> [mm]E_2[/mm] eine q vergessen hast (bei dem [mm]x_2),[/mm] so dass die
> rechnung leider danach falsch ist..
Sorry.
> ich hab versucht dies zu rechnen bzw. umformen, und komme
> wieder auf meine Ergebnisse davor: [mm]p+2q=-\bruch{1}{a+1}[/mm]
> Hier ist die Rechnung (vllt. habe ich irgendwo Fehler
> gemacht):
> [mm]E_1[/mm] in [mm]E_2[/mm] eingesetzt:
> 1+p+q-a^2p+q-2a^2q=a
> [mm]p(1-a^2)+2q(1-a^2)=a-1[/mm]
> [mm](p+2q)(1-a^2)=a-1[/mm]
> [mm]p+2q=-\bruch{1}{1+a}[/mm]
Das ist soweit ok.
>
> Man kann jetzt nach q aufösen [mm](q=-\bruch{1}{2(a+1)} -\bruch{1}{2}p[/mm]
> ) und q in [mm]E_1[/mm] einsetzen:
> [mm]x=\begin{pmatrix} 1 \\
0 \\
0 \end{pmatrix} +p*\begin{pmatrix} 1 \\
-a^2 \\
0 \end{pmatrix}+(-\bruch{1}{2(a+1)}-\bruch{1}{2}*p)*\begin{pmatrix} 1 \\
1 \\
-2a^2 \end{pmatrix}[/mm]
Auch das ist ok.
>
> So und weiter bin ich mir nicht sicher, ob man es so machen
> kann:
> [mm]X=\begin{pmatrix} 1 \\
0 \\
0 \end{pmatrix} +p*\begin{pmatrix} 1 \\
-a^2 \\
0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -\bruch{1}{2(a+1)} \\
-\bruch{1}{2(a+1)} \\
\bruch{a^2}{a+1} \end{pmatrix}+p*\begin{pmatrix} -\bruch{1}{2} \\
-\bruch{1}{2} \\
a^2 \end{pmatrix}[/mm]
Auch ok.
>
> und [mm]F:=\begin{pmatrix} 1-\bruch{1}{2(a+1)} \\
-\bruch{1}{2(a+1)} \\
\bruch{a^2}{a+1} \end{pmatrix}+p*\begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\
-a^2-\bruch{1}{2} \\
a^2 \end{pmatrix}[/mm]
Auch das stimmt.
>
> ist es richtig?
Ja, sehr schön.
>
> LG Valeria
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 17.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
über den Fall a=-1 sollte man auch noch ein Wort verlieren !
FRED
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