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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Fr 16.12.2005 | | Autor: | taschuu |
| Aufgabe | [mm] $\overrightarrow{OA}= \vec{a}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{OB}= \vec{b}$ [/mm] und [mm] $\overrightarrow{OC}= \vec{c}$ [/mm] sind die Ortsvektoren der Punkte $A$, $B$ und $C$.
Begründen Sie, dass sich die Gerade $g$ durch $A$ und $B$ und die Gerade $h$ durch $O$ und $C$ in genau einem Punkt schneiden. |
Hallo,
ich soll dies Begründen durch die Tatsache, da sich [mm] \vec{c} [/mm] als eine Linearkombination von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] darstellen lässt und da [mm] \vec{c} [/mm] und [mm] \vec{a}- \vec{b} [/mm] linear unabhängig sind.
Dies habe ich auch schon gemacht. C ist eine Linearkombination von a und b, und c=a-b.
Vielleicht sollte ich erstmal die drei Vektoren angeben:
[mm] \vec{a}= \pmat{ 4 \\ 0 \\ -2 }; \vec{b}= \pmat{ 4 \\ 1,5 \\ -0,5 } [/mm] und [mm] \vec{c}=\pmat{ 2 \\ -2 \\ -3 }.
[/mm]
Wie muss ich aber jetzt vorgehen, um zu beweisen, dass sich die Gerade g durch A und B und die Gerade h durch O und C in genau einem Punkt schneiden?
Ich brauche doch dieZwei-Punkt-Form der Geraden, oder?
In Fall von A und B
G = [mm] \{ \vec{x}= \vec{a}+r*( \vec{b}- \vec{a}) \}
[/mm]
Was aber ist mit C?
Kann C durch [mm] \vec{x}= \vec{a}+r*( \vec{b}- \vec{a}) [/mm] beschrieben werden?
Vielleicht könnte mir jemand auf die Sprünge helfen, ich weiss nämlich nicht, wo ich ansetzen muss. Oder ob mein Ansatz richtig ist, ist das überhaupt der Ansatz??
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Lolli |
> [mm]\overrightarrow{OA}= \vec{a}[/mm] und [mm]\overrightarrow{OB}= \vec{b}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{OC}= \vec{c}[/mm] sind die Ortsvektoren der
> Punkte A,B und C.
> Begründen Sie, dass sich die Gerade g durch A und B und
> die Gerade h durch O und C in genau einem Punkt schneiden.
> Hallo,
>
> ich soll dies Begründen durch die Tatsache, da sich [mm]\vec{c}[/mm]
> als eine Linearkombination von [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm]
> darstellen lässt und da [mm]\vec{c}[/mm] und [mm]\vec{a}- \vec{b}[/mm]
> linear unabhängig sind.
> Dies habe ich auch schon gemacht. C ist eine
> Linearkombination von a und b, und c=a-b.
> Vielleicht sollte ich erstmal die drei Vektoren angeben:
> [mm]\vec{a}= \pmat{ 4 \\ 0 \\ -2 }; \vec{b}= \pmat{ 4 \\ 1,5 \\ -0,5 }[/mm]
> und [mm]\vec{c}=\pmat{ 2 \\ -2 \\ -3 }.[/mm]
>
> Wie muss ich aber jetzt vorgehen, um zu beweisen, dass sich
> die Gerade g durch A und B und die Gerade h durch O und C
> in genau einem Punkt schneiden?
>
> Ich brauche doch dieZwei-Punkt-Form der Geraden, oder?
> In Fall von A und B
> G = [mm]\{ \vec{x}= \vec{a}+r*( \vec{b}- \vec{a}) \}[/mm]
> Was
> aber ist mit C?
Mit dem Punkt C stellst du die Gerade h auf, die durch den Ursprung geht
--> h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] s*\vec{c} [/mm] (Stützvektor ist (0|0|0) )
Jetzt nur ncoh die beiden Geraden schneiden, dann erhälst du den Schnittpunkt (4|-4|-6).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Sa 17.12.2005 | | Autor: | taschuu |
| Aufgabe | | Geben Sie die Parametergleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und C an. |
Hallo,
kann mir jemand sagen, ob ich das richtig gemacht habe?
E= [mm] \{ \vec{x}| \vec{x}= \vec{w}+r* \vec{u}+s* \vec{v} \}
[/mm]
[mm] \vec{u}= \vec{c}- \vec{a}= \pmat{ -2 \\ -2 \\ -1 }
[/mm]
[mm] \vec{v}= \vec{b}- \vec{a}= \pmat{ 0 \\ 1,5 \\ 1,5 }
[/mm]
[mm] \vec{w}= \vec{a}
[/mm]
Also lautet meine Parametergleichung:
E= [mm] \{ \vec{x}| \vec{x}= \pmat{ 4 \\ 0 \\ -2 }+r* \pmat{ -2 \\ -2 \\ -1 }+s* \pmat{ 0 \\ 1,5 \\ 1,5} \}
[/mm]
Ist das richtig??
Ich hätte aber noch eine Frage:
Ich soll zeigen, dass der Punkt D mit dem Ortsvektor
[mm] \overrightarrow{OD}= \pmat{ 4 \\ 3-0,5a \\ 1-0,5a } [/mm] mit a [mm] \in \IR
[/mm]
unabhängig von der Wahl von a in der Ebene E liegt.
Ich weiß nur leider nicht so wirklich, wie ich das zeigen kann!
Vielleicht kann mir ja jemand sagen, wie das geht? Und ob meine Parametergleichung richtig ist.
Vielen Dank und viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Lolli |
> Geben Sie die Parametergleichung der Ebene E durch die
> Punkte A, B und C an.
> Hallo,
>
> kann mir jemand sagen, ob ich das richtig gemacht habe?
>
> E= [mm]\{ \vec{x}| \vec{x}= \vec{w}+r* \vec{u}+s* \vec{v} \}[/mm]
>
> [mm]\vec{u}= \vec{c}- \vec{a}= \pmat{ -2 \\ -2 \\ -1 }[/mm]
>
> [mm]\vec{v}= \vec{b}- \vec{a}= \pmat{ 0 \\ 1,5 \\ 1,5 }[/mm]
>
> [mm]\vec{w}= \vec{a}[/mm]
>
>
> Also lautet meine Parametergleichung:
> E= [mm]\{ \vec{x}| \vec{x}= \pmat{ 4 \\ 0 \\ -2 }+r* \pmat{ -2 \\ -2 \\ -1 }+s* \pmat{ 0 \\ 1,5 \\ 1,5} \}[/mm]
>
> Ist das richtig??
Das stimmt.
> Ich hätte aber noch eine Frage:
> Ich soll zeigen, dass der Punkt D mit dem Ortsvektor
> [mm]\overrightarrow{OD}= \pmat{ 4 \\ 3-0,5a \\ 1-0,5a }[/mm] mit a
> [mm]\in \IR[/mm]
> unabhängig von der Wahl von a in der Ebene E
> liegt.
> Ich weiß nur leider nicht so wirklich, wie ich das zeigen
> kann!
> Vielleicht kann mir ja jemand sagen, wie das geht? Und ob
> meine Parametergleichung richtig ist.
Mit dem Punkt D machst du jetzt eine Punktprobe für deine ermittlete Ebene, heißt du musst folgendes Gleichungssystem lösen:
I 4 = 4 - 2r
II 3 - 0,5a = -2r + 1,5s
III 1 - 0,5a = -2 - r + 1,5s
Die Lösung muss unabhängig von a sein bzw. es muss eine wahre Aussage zu Stande kommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 So 18.12.2005 | | Autor: | taschuu |
Hallo,
erstmal vielen Dank an Lolli für die schnelle Antwort. Aber ich komme beim Lösen vom Gleichungssystem irgendwie nicht weiter. Es kommt keine richtige Lösung raus. Was meinst Du denn, dass die Lösung unabhängig von a sein muss bzw. eine wahre Aussage zustande kommen muss.
Es wäre super, wenn Du mir noch ein letztes Mal auf die Sprünge helfen könntest.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 So 18.12.2005 | | Autor: | taura |
Hallo taschuu!
Was du machen musst, ist das Gleichungssystem nach r und s aufzulösen, in Abhängigkeit von a. Dabei darf für a keine Einschränkung entstehen, und es darf sich kein Widerspruch ergeben. Du musst also hinterher für a eine beliebige Zahl einsetzen können und damit eine Lösung für r und s erhalten, dann liegt für jede Zahl a der Punkt D in der Ebene.
Hoffe das hilft dir weiter 
Gruß taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 So 18.12.2005 | | Autor: | taschuu |
Hallo taura,
vielen Dank für die schnelle Hilfe. Jetzt müsste ich eigentlich weiter kommen.
Viele Grüße
taschuu
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