Schnittpunkt Ortskurven < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 So 01.07.2007 | | Autor: | Tekker |
| Aufgabe | Gegeben sind die komplexen Zahlen
[mm] z_{0}=1+it [/mm] und [mm] z_{1}=e^{i\bruch{\pi}{4}}
[/mm]
Bestimmen sie rechnerisch den Schnittpunkt der beiden Ortskurven
[mm] u(t)=z_{0}*z_{1} [/mm] und [mm] w(t)=z_{0}*\overline{z_{1}} [/mm] |
Laut Skizze muß der Schnittpunkt bei 1 auf der Realteil-Achse liegen.
Wenn ich jedoch u=w setze bekomme ich i=t raus.
Zusatzfrage: dürfte man [mm] z_{0}, [/mm] direkt kürzen?
Vielen Dank für die Hilfe im vorraus!
mfg Tekker
P.s.: Habe diese Frage in keinem anderem Forum oder auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
> Gegeben sind die komplexen Zahlen
>
> [mm]z_{0}=1+it[/mm] und [mm]z_{1}=e^{i\bruch{\pi}{4}}[/mm]
>
> Bestimmen sie rechnerisch den Schnittpunkt der beiden
> Ortskurven
> [mm]u(t)=z_{0}*z_{1}[/mm] und [mm]w(t)=z_{0}*\overline{z_{1}}[/mm]
> Laut Skizze muß der Schnittpunkt bei 1 auf der
> Realteil-Achse liegen.
> Wenn ich jedoch u=w setze bekomme ich i=t raus.
>
> Zusatzfrage: dürfte man [mm]z_{0},[/mm] direkt kürzen?
Um Himmels Willen: nein! Anzunehmen, dass die beiden Parameterwerte für die Geraden [mm]u[/mm] und [mm]w[/mm] im Schnittpunkt notwendigerweise die selben sind, ist schon falsch. Du musst eine Schnittgleichung der Form [mm]u(t)=w(s)[/mm] lösen. Das heisst: Du musst die beiden Geraden mit unterschiedlichem Parameter versehen. Indem Du Real- und Imaginärteil dieser Schnittgleichung vergleichst, erhältst Du für diese zwei gesuchten Parameterwerte (für den Schnittpunkt) auch zwei Gleichungen (wie es sich gehört)...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 01.07.2007 | | Autor: | Tekker |
Aber, daß sie sich laut Skizze in diesem Punkt schneiden ist doch richtig, oder?
Das war nämlich Teil a) der Aufgabe.
Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann müsste für den Schnittpunkt, daß man als "Zahlenpaar" (-t; 2+t) rausbekommt? stimmt das?
mfg
|
|
|
| |
|
> Aber, daß sie sich laut Skizze in diesem Punkt schneiden
> ist doch richtig, oder?
> Das war nämlich Teil a) der Aufgabe.
>
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann müsste für den
> Schnittpunkt, daß man als "Zahlenpaar" (-t; 2+t)
> rausbekommt? stimmt das?
Nein. Es ist m.E. doch überhaupt nicht möglich, dass der Parameterwert [mm]t[/mm] in den Schnittpunktskoordinaten noch drin bleibt.
Um die Aufgabenstelllung zu rekapitulieren: [mm]z_0=1+i t[/mm] ist eigentlich eine zur reellen Achse senkrechte Gerade, t ist hier der reelle[!] Parameter (wie bei der Parameterform einer Geraden in der Vektorgeometrie). Hier hätte man im Grunde besser geschrieben: [mm]g: \IR\ni t\mapsto 1+i t\in \IC[/mm].
[mm]u(t)=z_0 z_1[/mm] ist einfach die um [mm]\frac{\pi}{4}[/mm] (also im Gegenuhrzeigersinn) gedrehte Gerade [mm]z_0[/mm]. [mm]w(t)=z_0 \overline{z_1}[/mm], andererseits, ist die um [mm]-\frac{\pi}{4}[/mm] (also im Uhrzeigersinn) gedrehte Gerade [mm]z_0[/mm].
Du kannst davon ausgehen, dass sich der Schnittpunkt auf der reellen Achse befindet.
Dies ergibt sich, wie gesagt, einfach aus der Schnittgleichung:
[mm](1+i t)\cdot e^{i\frac{\pi}{4}}=(1+i s)\cdot e^{-i\frac{\pi}{4}}[/mm]
Hier kannst Du beidseitig mit [mm]e^{i\frac{\pi}{4}}[/mm] multiplizieren und dann verwenden, dass [mm]e^{i\frac{\pi}{2}}=i[/mm] ist. Dies ergibt
[mm](1+i t) i=1+i s[/mm]
d.h.
[mm]i-t=1+i s[/mm]
Vergleich von Real- und Imaginärteil ergibt: [mm]t=-1, s=1[/mm]. Einsetzen dieser Parameterwerte in [mm]u(t)[/mm] bzw. [mm]w(s)[/mm] ergibt den gesuchten Schnittpunkt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:41 So 01.07.2007 | | Autor: | Tekker |
Ok, ich habs jetzt. Danke für deine schnellen Antworten!
mfg
|
|
|
|
