Schnittpunkt Gerade Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 So 17.12.2006 | | Autor: | root |
| Aufgabe | Gegeben sind die die Gerade $g$ und die Ebene $E$ durch folgende Gleichungen:
$g$: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{4 \\ 2 \\ 4} [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ 2 \\ -1 \\ -2}; [/mm] $E$: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 4 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] \sigma \pmat{ 3 \\ -2 \\ 2} [/mm] + [mm] \tau \pmat{ -2 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt $S$ der Geraden $g$ mit der Ebene $E$. |
Laut Lösungsbuch soll hier $S (3; 2,5; 5)$ rauskommen.
So, meiner Ansicht nach bekommt man den Schnittpunkt doch durch gleichsetzen, oder? Ich hab das tausendmal durchgerechnet und komm immer irgendwie auf falsche [mm] $\sigma$s [/mm] und [mm] $\tau$s.
[/mm]
Mein Rechenweg:
I) 4 + [mm] 2\lambda [/mm] = 4 + [mm] 3\sigma [/mm] - [mm] 2\tau
[/mm]
II) 2 - [mm] \lambda [/mm] = [mm] -2\sigma [/mm] + [mm] 3\tau
[/mm]
III) 4 - [mm] 2\lambda [/mm] = 2 + [mm] 2\sigma [/mm] + [mm] 2\tau
[/mm]
aus II) [mm] \lambda [/mm] = [mm] 2\sigma [/mm] - [mm] 3\tau [/mm] + 2
II in I)
[mm] 2\lambda [/mm] = [mm] 3\sigma [/mm] - [mm] 2\tau
[/mm]
[mm] 4\sigma [/mm] - [mm] 6\tau [/mm] + 4 = [mm] 3\sigma [/mm] - [mm] 2\tau
[/mm]
[mm] \sigma [/mm] - [mm] 6\tau [/mm] + 4 = [mm] -2\tau
[/mm]
[mm] \sigma [/mm] = [mm] 4\tau [/mm] - 4
I, II in III)
2 - [mm] 2\lambda [/mm] = [mm] 2\sigma [/mm] + [mm] 2\tau
[/mm]
2 - [mm] 4\sigma [/mm] + [mm] 6\tau [/mm] - 4 = [mm] 2\sigma [/mm] + [mm] 2\tau
[/mm]
-2 + [mm] 6\tau [/mm] = [mm] 6\sigma [/mm] + [mm] 2\tau
[/mm]
-2 + [mm] 4\tau [/mm] = [mm] 6\sigma
[/mm]
[mm] 4\tau [/mm] = [mm] 6\sigma [/mm] + 2
[mm] 4\tau [/mm] = [mm] 24\tau [/mm] - 24 + 2
[mm] 4\tau [/mm] = [mm] 24\tau [/mm] - 22
22 = [mm] 20\tau
[/mm]
=> [mm] \tau [/mm] = [mm] \bruch{10}{11}
[/mm]
=> [mm] \sigma [/mm] = [mm] \bruch{40}{11} [/mm] - 4 = - [mm] \bruch{4}{11}
[/mm]
Wo kann hier der Fehler begraben liegen?
Liebe Grüße und besten Dank im Voraus, Thomas!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Im allerletzten Schritt schmeißt Du doch glatt Zähler und Nenner durcheinander.
Aus $22 \ = \ [mm] 20*\tau$ [/mm] erhalte ich: [mm] $\tau [/mm] \ = \ [mm] \bruch{22}{20} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{11}{10}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 So 17.12.2006 | | Autor: | root |
> Im allerletzten Schritt schmeißt Du doch glatt Zähler und
> Nenner durcheinander.
Upps, das ist mir jetzt aber peinlich.
Ändert aber leider immer noch nichts dran, dass man damit nicht auf den Schnittpunkt kommt. Der Fehler muss irgendwie schon weiter oben drinstecken.
Liebe Grüße, Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Ich erhalte durch Einsetzen aber exakt den Schnittpunkt.
Mit [mm] $\tau [/mm] \ = \ 1.1$ musst Du selbstverständlich auch das richtige [mm] $\sigma$ [/mm] mit [mm] $\sigma [/mm] \ = \ 0.4$ ermitteln und einsetzen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 So 17.12.2006 | | Autor: | root |
Ja, du hast natürlich recht....
Ich hab dann beim Einsetzen [mm] \sigma [/mm] und [mm] \tau [/mm] verwechselt. Ich glaub ich sollte mal n Mittagsschläfchen machen. Mir schwirrt schon der Kopf vor lauter Zahlen und griechischen Buchstaben. Aber morgen is zum Glück die letzte Mathe-Klausur (zumindest schulisch) für mich, danach kommt nur noch Abi. Da muss man nochmal gescheit lernen.
Vielen Vielen Dank dir nochmal! Ich hätt allein glaub ich meinen Fehler nie gefunden!
|
|
|
|
