Schnittpunkt Exp. und Lin. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Do 22.03.2012 | | Autor: | S.i.C. |
Hallo,
hoffe bin hier richtig und habe alles ordnungsgemäß gemacht.
Bin privat auf ein Problem gestoßen, wo mir meine Lehrerin leider nicht helfen
konnte.
Schnittpunktberechnung der Funktionen f(x) = 2x-2 und g(x) = [mm] 1/8*2^x
[/mm]
Für die Schnittpunktberechnung muss man beide gleichsetzen.
f(x) = g(x)
2x-2 = [mm] 1/6*2^x
[/mm]
An dieser Stelle hänge ich.
Habe mir erst gedacht alles e^ zu nehmen, damit ich die Variable im Exponenten weg kriege nach ln, allerdings lief das schief.
Würde mich freuen wenn mir jemand helfen kann.
Was noch zu erwähnen ist, mir geht es nicht um die Bestimmung
sondern um eine algebraische Lösung. Ablesen ist mir zu simpel.
Cheers und danke im vorraus
Da es mein erster Beitrag hier ist noch dieser Hinweiß:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo S.i.C.,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo,
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> hoffe bin hier richtig und habe alles ordnungsgemäß
> gemacht.
>
> Bin privat auf ein Problem gestoßen, wo mir meine Lehrerin
> leider nicht helfen
> konnte.
> Schnittpunktberechnung der Funktionen f(x) = 2x-2 und g(x)
> = [mm]1/8*2^x[/mm]
> Für die Schnittpunktberechnung muss man beide
> gleichsetzen.
>
> f(x) = g(x)
> 2x-2 = [mm]1/6*2^x[/mm]
>
> An dieser Stelle hänge ich.
> Habe mir erst gedacht alles e^ zu nehmen, damit ich die
> Variable im Exponenten weg kriege nach ln, allerdings lief
> das schief.
> Würde mich freuen wenn mir jemand helfen kann.
>
Solch eine Gleichung kannst Du nur numerisch lösen.
Dazu dienen Iterationsverfahren, wie das Newton-Verfahren.
> Was noch zu erwähnen ist, mir geht es nicht um die
> Bestimmung
> sondern um eine algebraische Lösung. Ablesen ist mir zu
> simpel.
>
> Cheers und danke im vorraus
>
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> Da es mein erster Beitrag hier ist noch dieser Hinweiß:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Fr 23.03.2012 | | Autor: | S.i.C. |
Nunja, nach meinen Recherchen kam ich auch auf das Newton-Verfahren, hatte es anschließend meiner Lehrerin gezeigt(da ich das Newton-Verfahren nicht wirklich umsetzen konnte). Sie sagte, dass es wie eine ganz normale Schnittpunktberechnung zu behandeln ist.
Was mich irritiert ist vor allem, dass mein Mathebuch das Newton-Verfahren dafür verwendet um bei Exp.-Funktionen f(x)=0 zu berechnen.
Könnte mir jemand vllt das Newton-Verfahren anhand dieses Beispieles erklären, oder anhand eines anderen Bsp., so dass ich es selbst mit den beiden Funktionen berechnen könnte?
Cheers
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Hallo S.i.C.,
> Nunja, nach meinen Recherchen kam ich auch auf das
> Newton-Verfahren, hatte es anschließend meiner Lehrerin
> gezeigt(da ich das Newton-Verfahren nicht wirklich umsetzen
> konnte). Sie sagte, dass es wie eine ganz normale
> Schnittpunktberechnung zu behandeln ist.
>
> Was mich irritiert ist vor allem, dass mein Mathebuch das
> Newton-Verfahren dafür verwendet um bei Exp.-Funktionen
> f(x)=0 zu berechnen.
>
> Könnte mir jemand vllt das Newton-Verfahren anhand dieses
> Beispieles erklären, oder anhand eines anderen Bsp., so
> dass ich es selbst mit den beiden Funktionen berechnen
> könnte?
>
Führe das Schnittpunktproblem f(x)=g(x)
auf ein Nullstellenproblem zurück.
Definiere dazu: [mm]h\left(x\right):=f\left(x\right)-g\left(x\right)[/mm]
Dann sind die Nullstellen von h(x) gesucht und
somit kannst Du das Newton-Verfahren anwenden:
[mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{h(x_{n})}{h'(x_{n})}[/mm]
Was Du noch braucht, bevor Du mit dem Newton-Verfahren
anfangen kannst, ist ein Näherungswert [mm]x_{0}[/mm].
> Cheers
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Sa 24.03.2012 | | Autor: | S.i.C. |
Also muss ich das für jeden Schnittpunk einzeln durchführen?
Da der Schnittpunkt bei P(1.1901466|0.38029322) liegt, wäre für $ [mm] x_{0} [/mm] $
der Wert x=2 akzeptabel?
Ist es egal welche Funktion ich für f(x) bzw. g(x) einsetze?
Die daraus entstehenden Graphen sind schließlich nur entlang der x-Achse gespiegelt.
somit hätte ich
[mm] $h(x)=(\bruch{1}{6}*2^x)-(2x-x)$
[/mm]
daraus würde dann
[mm] $x_{n+1}=x_{n}-\bruch{(\bruch{1}{6}*2^x)-(2x-x)}{...}$*
[/mm]
In meinem Fall wäre [mm] $x_{n} [/mm] = 2$ oder?
(Steht die 2 für den x-Wert oder für die Zahl der Schnittpunkte/erhofften Nullstellen?)
Hoffe habe bisher alles soweit richtig verstanden.
*Darf gerade feststellen das ich es nicht mehr hinkriege normale Exponentialfunktionen zu e-Funktionen um zu formen um sie ab zu leiten,
falls mir hier nochmal jemand hhelfen könnte, wäre ich ihm dankbar
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Hallo,
zu deiner letzten Frage:
[mm] a^x=\left(e^{ln(a)}\right)^x=e^{x*ln(a)}
[/mm]
Gruß, Diophant
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Hallo S.i.C.,
> Also muss ich das für jeden Schnittpunk einzeln
> durchführen?
> Da der Schnittpunkt bei P(1.1901466|0.38029322) liegt,
> wäre für [mm]x_{0}[/mm]
> der Wert x=2 akzeptabel?
>
Ja.
> Ist es egal welche Funktion ich für f(x) bzw. g(x)
> einsetze?
Ebenfalls ja.
> Die daraus entstehenden Graphen sind schließlich nur
> entlang der x-Achse gespiegelt.
>
> somit hätte ich
> [mm]h(x)=(\bruch{1}{6}*2^x)-(2x-x)[/mm]
> daraus würde dann
> [mm]x_{n+1}=x_{n}-\bruch{(\bruch{1}{6}*2^x)-(2x-x)}{...}[/mm]*
>
> In meinem Fall wäre [mm]x_{n} = 2[/mm] oder?
Der Startwert ist [mm]x_{0}=2[/mm]
Damit ist
[mm]x_{1}=x_{0}-\bruch{(\bruch{1}{6}*2^{x_{0}})-(2x_{0}-2)}{...}[/mm]
ein besserer Näherungswert.
> (Steht die 2 für den x-Wert oder für die Zahl der
> Schnittpunkte/erhofften Nullstellen?)
>
> Hoffe habe bisher alles soweit richtig verstanden.
>
> *Darf gerade feststellen das ich es nicht mehr hinkriege
> normale Exponentialfunktionen zu e-Funktionen um zu formen
> um sie ab zu leiten,
> falls mir hier nochmal jemand hhelfen könnte, wäre ich
> ihm dankbar
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 So 25.03.2012 | | Autor: | S.i.C. |
Somit würde die komplette Gleichung wie folgt aussehen.
[mm] $2=2-\bruch{(\bruch{1}{6}*2^2)-(2*2-2)}{e^{2*ln2}}$
[/mm]
Daraus erhalte ich
[mm] $2\not=1,96713975$
[/mm]
Würde mein weiteres Vorgehen da drinnen bestehen, dass ich das immer wieder hole, oder was wäre mein nächster schritt, zur genauen Bestimmung des Schnittpunktes, sofern es möglich ist.
Cheers
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 25.03.2012 | | Autor: | S.i.C. |
Es geht also um die differenz von [mm] $x_{n+1}$ [/mm] und [mm] $x_{n}-\bruch{f(x)-g(x)}{f'(x)-g'(x)}$?
[/mm]
Muss die Differenz 0 ergeben?
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Hallo,
> Es geht also um die differenz von [mm]x_{n+1}[/mm] und
> [mm]x_{n}-\bruch{f(x)-g(x)}{f'(x)-g'(x)}[/mm]?
>
> Muss die Differenz 0 ergeben?
nein: es geht ja hier um eine Näherungslösung. Wenn das Newtonverfahren konvergiert, dann wird diese Differenz mit jedem Schritt kleiner und man kann jede vorgegebene Genauigkeit durch eine endliche Anzahl von Iterationen erreichen, aber bis zum exakten Wert müsstest du unendlich lange weiterrechnen.
Gruß, Diophant
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Arndt Brünner