Schnittmenge von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mo 11.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
| Aufgabe | 1. Bestimmen sie ein v [mm] \in \IR^4 [/mm] mit U [mm] \cap [/mm] W = [mm] \lambda*v, \lambda \in \IR
[/mm]
2. Ergänzen Sie v zu Basen von U und W
3. Geben sie eine Basis von U+W an
[mm] U=\{x \in \IR^4| Ax=0 \}, W=\{x \in \IR^4| Bx=0 \}
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 2 }
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 & -2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 } [/mm] |
Hallo!
Wie bestimme ich bei 1. die Schnittmenge eines Vektorraums? Das müsste ja die Teilmenge sein, die in beiden Räumen enthalten ist... aber wie kann man das bei Matrizen verstehen? 2. basiert ja dann auf 1., allerdings weiß ich hier nicht, wie ich zu einer Basis erweitere. Kann ich bei 3. einfach die Summe bestimmen (über Matrizenaddition) und davon die Basis bestimmen? Oder geht das nicht?
Grüße,
Kira
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Hallo,
Die Unterräume U und W des [mm] R^4 [/mm] sind über die LGS [mm] Av=\vec{0} [/mm] und [mm] Bv=\vec{0} [/mm] bestimmt (die Matrizen alleine sind garnicht die Angabe), in deren gemeinsamen Unterraum wiederum jeder Vektor ein Beispiel für 1. ist.
Die nötigen Basisivektoren für 2. und 3. bekommst du beim Lösen des LGS gleich mit raus.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mo 11.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
Hallo, danke für deine schnelle Antwort.
Wie berechne ich aber U [mm] \cap [/mm] W ? Also den gemeinsamen Unterraum? Gleichsetzen?
Grüße
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Hallo,
ja ganz genau so.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 11.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
ALso... ich hab das jetzt grade versucht, aber irgendwie komm ich nur auf [mm] x_4, x_3, x_2, x_1=0... [/mm] und das ist wohl kaum die lösung.
wie meinst du das mit dem gleichsetzen? die 2 matrizen kann ich ja wohl kaum gleich setzen und die vektorräume sind ja durch die matrix bestimmt... weil Ax=Bx bringt mich ja auch nicht weiter.
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Hallo,
du bekommst doch mit Ax=0 ein Gleichungssystem heraus, das eine Lösungsmenge hat, bei mir ein zweidimensionaler Unterraum, der von den Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] aufgespannt wird. Aus dem LGS Bx=0 erhältst du ebenfalls einen (anderen) Unterraum (ich denke mal auch eine Ebene). Die Ebenengleichungen setzt du (ohne Matrizenrechnung) einfach miteinander gleich und bekommst dann einen Raum heraus, in dem dein gesuchter Vektor liegt.
[mm] (\vec{x}=0 [/mm] ist immer auch eine Lösung, aber eine von Dimension 0, die ja keinen Raum aufspannt)
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 11.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
Also, wenn ich das Gleichungssystem löse, erhalte ich bei Ax=0
[mm] s*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] t*\vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
meine Lösung für Bx=0 ist [mm] s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}+t*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
wenn ich die beiden jetzt gleichsetze, erhalte ich ja folgendes Gleichungssystem:
-s+2t=t
s=s
t=t
s=-s+2t
da komm ich aber dann wieder nur auf den Nullvektor... sorry, ich mach warscheinlich irgendwo nur einen ganz blöden fehler, und häng deswegen dauernd
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Hallo,
ne ich habe geschlampt, du hast nur deine eigene Lösung nicht gesehen.
Für alle s=t [mm] (\equiv [/mm] -s+2t=t) ist der entstehende Vektor [mm] \vektor{t \\ t \\ t \\ t} [/mm] Lösung (z.B. probiers mit t=1).
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 11.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
Ok, damit wäre doch dann 1. geklärt [mm] v=\vektor{x \\ x \\ x \\ x}
[/mm]
Wie erweitere ich jetzt vo zu Basen von U und W? Ich weiß, dass die Basis von U [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] ist und die Basis von W ist [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 2}. [/mm] Wie kommt da jetzt v mit ins Spiel?
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> Ok, damit wäre doch dann 1. geklärt [mm]v=\vektor{x \\ x \\ x \\ x}[/mm]
Hallo,
nein, das ist nicht die exakte Antwort.
Sondern z.B. [mm] v=\vektor{1\\1\\1\\1}.
[/mm]
>
> Wie erweitere ich jetzt vo zu Basen von U und W?
Vorweg: wenn [mm] v_1, [/mm] und [mm] v_2 [/mm] linear uanbhängig sind, dann sind auch [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_1+v_2 [/mm] linear unabhängig.
Ich weiß,
> dass die Basis von U [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}[/mm] und
> [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] ist
Aha. Und wenn Du die beiden addierst, dann hast Du v.
und die Basis von W ist
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ -1}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 2}.[/mm]
> Wie kommt da jetzt v mit ins Spiel?
Und wenn Du die beiden addierst, dann hast Du v.
Nun solltest Du auf eine Idee kommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mo 11.01.2010 | | Autor: | jarna37 |
Hm... tut mir leid. Da komm ich leider auf keine Idee. Die Basen können also durch den Schnittvektor (?) von U und W dargestellt werden...
Mir fehlen anscheinend diese ganzen einfachen Grundlagen. Das ganze Thema Vektorräume ist wohl ein ganz großes Mysterium für mich
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> Hm... tut mir leid. Da komm ich leider auf keine Idee. Die
> Basen können also durch den Schnittvektor (?) von U und W
> dargestellt werden...
Hallo,
mal korrekt formuliert:
wir haben mit dem, was ich schrieb, Basen des U und W, welche jeweils den Schnittvektor v von U und W enthalten.
Welches sind diese beiden Basen? Schreib sie auf. Jede besteht aus zwei Vektoren.
So, und wenn Du diese Basen dann dastehen hast, ist die Frage, womit Du v zu einer Basis des U bzw. W ergänzen kannst, eine Frage, die jedes Kindergartenkind beantworten kann. Dazu braucht's dann keinerlei Kenntnisse der linearen Algebra mehr. Es ist nicht alles, auf dem "Vektorraum" steht, schwer!
> Mir fehlen anscheinend diese ganzen einfachen Grundlagen.
In dieser Erkenntnis liegt ja gleich die Lösungsmöglichkeit für dieses Problem...
Ich sehe gerade: GS ...
Diese Aufgabe spielte ja nun im Vierdimensionalen, aber wir verlegen sie einfach mal in den Auschauungsraum.
Was hast Du getan? Zwei zweidimensionale Unterräume zum Schnitt gebracht.
Zweidimensionale Räume: Ebenen.
Du hast zwei Ebenen geschnitten.
Ergebnis: eindimensionaler Unterraum.
Also eine Gerade. Der ausgerechnete Basisvektor dieses eindimensionalen Unterraums ist der Richtungvektor der Geraden.
Wenn Du diese beiden Ebenen gerade mal mit der Tischplatte und einem schräg draufgehaltenen Blatt Papier darstellst, so hast Du dort, wo die beiden zusammenstoßen die Schnittgerade, also den Schnitt dieser beiden Unterräume.
Du wirst keine Zweifel haben, daß der Richtungsvektor der Geraden sowohl zum Papier als auch zur Tischplatte gehört.
Und wenn Du diesen Vektor jetzt mit irgendeinem anderen der Tischplatte, der in eine andere Richtung zeigt, ergänzt, so hast Du eine Basis der Tischplatte.
Denn die Tischplatte ist zweidimensional, und eine Basis davon besteht aus zwei linear unabhängigen Vektoren.
Beim Papier genauso.
> Das ganze Thema Vektorräume ist wohl ein ganz großes
> Mysterium für mich
Sieh zu, daß Du die Nebel etwas lichtest, also die Definitionen und einschlägigen Sätze lernst und sie im Geiste in die Anschauung überträgst.
Wenn Du dann noch die einschlägigen Verfahren lernst, ist das Mysterium nicht mehr so groß. Mit ein bißchen Mysterium lebt sich's ja ganz gut.
Gruß v. Angela
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