Schnittkreis Kugel/Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Vicky89 |
| Aufgabe | Gegebene Punkte:
T (100/200/200)
S (-8756/-3736/2710)
F (1000/600/0)
Die Ebene aus diesen 3 Punkten schneidet die Kugel
[ (x-100)²+(y-200)²+(z-250)² = 10000² ] in einem Kreis.
Geben Sie den Radius und den Mittelpunkt des Schnittkreises an. |
Und zwar ist die Aufgabe aus dem Abitur Heft 2008 aus dem Stark Verlag (kurzgefasst). Ich habe zwar die Lösung, allerdings verstehe ich einen der letzten Schritte nicht.
So bestimme ich also zuerst die Ebenengleichung, berechne dann mit dem Vektorprodukt den Normalenvektor und komme dann auf die Ebenengleichung: E: 1084x+2439y=-379400
Was mache ich aber jetzt? In der Lösung ist folgendes angegeben: "FÜr den Abstand der Kugelmitte von der Ebene benutzt man die Gleichung: [mm] D=\bruch{1}{|\overrightarrow{n}|} |\overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{OM} [/mm] - [mm] \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{OF}|
[/mm]
Als betrag des Normalenvektors erhält man
[mm] |\overrightarrow{n}|=\wurzel{1084²+2439²} \approx [/mm] 2669
Weiter gilt: [mm] \overrightarrow{n}\circ \overrightarrow{OM} [/mm] = [mm] \vektor{1084 \\ -2439\\ 0} \circ \vektor{100\\ 200\\ 250}= [/mm] -379400
Mit [mm] \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{OF}=-379400 [/mm] erhält man, wie bereits oben errechnet, den Abstand der Ebene zum Kugelmittelpunkt 0 Meter. Der Kugelmittelpunkt liegt also auf der Ebene. Damit entsprechen Radius und Mittelpunkt des Schnittkreises denen der Kugel."
So.. jetzt zu meinen Fragen. Ein kleines Probel ist schonmal, dass ich mir nicht sicher bin, was dieses Zeichen bedeutet: [mm] \circ
[/mm]
Und wie komme ich auf den ersten Schritt, den ich hier aus der Lösung aufgeschrieben habe? Was bringt er mir, was sagt mir das Ergebnis?? Laut meinem Mathebuch müsste ich was ganz anderes rechnen...
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Mo 18.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. der Kringel bedeutet hier Skalarprodukt.
2. wenn du dirs vorstellst nimmst du die Differenz des Abstands Ebene 0 und Mittelpunkt 0 und projizierst diesen Differenzvektor auf die Normalenrichtung. Das ergibt den Abstand der Ebene vom Mittelpunkt. mal dies mal mit nem Kreis und ner Geraden auf, das ist genau analog.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Vicky89 |
hmm.. ok, dass es das skalarprodukt bedeuetet, dachte ich mir..
aber ich weiß ehrlich gegsat immernoich nicht, was diese formel bedeutet.
was soll denn dieser [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ganz am anfang?
und wie rechne ich den aus?! (--> ah, damit rechne ich die länge aus, oder?)
und wieso mulitpliziere ich überhaupt mit n?
ich verstehe aber uach nicht,m wie ich dann auf den weiteren lösungsweg komme...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Mo 18.02.2008 | | Autor: | abakus |
> hmm.. ok, dass es das skalarprodukt bedeuetet, dachte ich
> mir..
> aber ich weiß ehrlich gegsat immernoich nicht, was diese
> formel bedeutet.
> was soll denn dieser [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ganz am anfang?
> und wie rechne ich den aus?!
>
Zu einer Ebene kann man ja unterschiedliche Normalenvektoren angeben. Sie haben zwar alle die selbe (oder entgegengesetze) Richtung, können aber unterschiedlich lang sein. Für die beschriebene Abstandsbestimmung benötigt man aber einen Normalenvektor der Länge 1. Deshalb wird ein beliebiger Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] durch seinen eigenen Betrag geteilt. Er hat dann immer noch die gleiche Richtung, aber den Betrag 1.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Vicky89 |
sorry, hatte die frage eben noch bearbeitet, dann ist mein internet abgestürzt... und dann warst du schon dran, mir die frage zu beantworten..
hier also nochmal die frage von eben (wichtig eher die letzte frage)
mm.. ok, dass es das skalarprodukt bedeuetet, dachte ich mir..
aber ich weiß ehrlich gegsat immernoich nicht, was diese formel bedeutet.
was soll denn dieser $ [mm] \bruch{1}{n} [/mm] $ ganz am anfang?
und wie rechne ich den aus?! (--> ah, damit rechne ich die länge aus, oder?)
und wieso mulitpliziere ich überhaupt mit n?
ich verstehe aber auch nicht, wie ich dann auf den weiteren lösungsweg komme...
und dann noch zu deiner antwort: wieso brauche ich denn einen vektor der länge 1?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Mo 18.02.2008 | | Autor: | abakus |
> sorry, hatte die frage eben noch bearbeitet, dann ist mein
> internet abgestürzt... und dann warst du schon dran, mir
> die frage zu beantworten..
> hier also nochmal die frage von eben (wichtig eher die
> letzte frage)
>
> mm.. ok, dass es das skalarprodukt bedeuetet, dachte ich
> mir..
> aber ich weiß ehrlich gegsat immernoich nicht, was diese
> formel bedeutet.
> was soll denn dieser [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ganz am anfang?
> und wie rechne ich den aus?! (--> ah, damit rechne ich
> die länge aus, oder?)
> und wieso mulitpliziere ich überhaupt mit n?
> ich verstehe aber auch nicht, wie ich dann auf den
> weiteren lösungsweg komme...
>
>
>
> und dann noch zu deiner antwort: wieso brauche ich denn
> einen vektor der länge 1?!
Jeder Vektor sicht sich doch in zwei zueinander senkrechte Komponenten verlegen (auf einer geneigten Ebene wird z.B. der Vektor der Gewichtskraft zerlegt in Hangabtriebskraft und Normalkraft.) Das will man auch mit dem Vektor [mm] (\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OF})
[/mm]
erreichen. Eine Komponente soll in der Kreisebene liegen, die andere senrecht heruasführen -und diese senkrechte Komponenten steht für den gesuchten Abstand. Wie filtert man die Senkrechte heraus? Man bildet des Skalarprodukt mit dem Normalenvektor der Ebene. Das der Normalenvektor senkrecht zu der Komponente in der Ebene steht, ergibt dieses (Teil)-Skalarprodukt Null.
Das Skalarprodukt mit der Komponente, die senkrecht aus der Ebene führt, ist aber maximal, da deine Vektoren die selbe Richtung haben. Wenn ich nun den Normalenvektor so wähle, dass sein Betrag 1 ist, bekomme ich als Skalarprodukt eben gerade den Betrag der zur Ebene senkrechten Komponente (multipliziert mit 1).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Vicky89 |
danke für die antworten =)
ich kann zwar immernoch nicht sagen, dass ich die aufgabe verstanden habe, aber vllt etwas eher als vorher..
vllt frage ich morgen einfach nochmal meinen mathelehrer, denke es ist leichter es zu verstehen, wenn ich es persönlich erklärt bekomme.
lg
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