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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Schnittgerade zweier Ebenen
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Schnittgerade zweier Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:13 Mo 24.09.2012
Autor: betina

Aufgabe
Berechnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen, die die Dreieckde ABC und PQR enthalten.

Gegeben: A = [mm] \pmat{ 1\\ 3\\6 } [/mm]  B = [mm] \pmat{ 8\\ 1\\8 } [/mm] C = [mm] \pmat{ 0\\ 6\\-1} [/mm]  und    P = [mm] \pmat{1\\ 1\\3} [/mm]  Q = [mm] \pmat{5\\ 12\\3} [/mm]  R [mm] =\pmat{0\\ 2\\6} [/mm]


Hallo

wie ich die Schnittgerade zweier Ebenen berechnen muss weiss ich!
Aber was mich hier irritiert ist der Teil wo noch was von zwei Dreiecken die Rede ist ..????

Auch wenn ich jetzt nicht ganz wüsste was genau berechnet werden muss hätte ich die Zwei Ebenen in Parameterform gebildet

Für E1 hätte ich gerechnet -> A + lambda * (B-A) + mu * (C-A)

Und für E2 -> p + lambda * (Q-P) + mu * (R-P)

So hätte ich jetzt anhand dieser gegeben Vektoren die zwei Ebenen gebildet und anhand dieser dann wie nach dem normalen Schema die Schnittgerade von diesen zwei Ebenen berechnet.


Lasst mich raten.. Ist bestimmt falsch was ich da geschrieben hab

        
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Schnittgerade zweier Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:17 Mo 24.09.2012
Autor: reverend

Hallo betina,

das ist alles richtig, was Du da geschrieben hast.
Dann rechne mal weiter.

Grüße
reverend


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Bezug
Schnittgerade zweier Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:38 Mo 24.09.2012
Autor: betina

Hallo reverend und alle anderen

das ist ja schonmal was, dass ich in der Klausur so richtig vorgegangen wäre :)

Jetzt würde ich in der Klausur so weiter so vorgehen:

Wenn ich zwei Ebenen in Paraf. gegeben habe und ich die Schnittgerade berechnen soll, kann ich für mich nur so am besten voran gehen, dass ich die Ebene 1 von der Paraf. in Koordinatenf. umwandle.

Kleine Änderung bei den Ebenen:
Bei E1 habe ich anstatt lamda ein r und anstatt mü ein s ersetzt.
Bei E2: habe ich anstatt lamda ein t und anstatt mü ein u ersetzt.

E1 in Koordinaten form ergibt bei mir E1:8 [mm] x_{1} [/mm] + 11 [mm] x_{2} [/mm] - 1 [mm] x_{3}= [/mm] 67

Und dann in E1 die Zahlen von E2 eingesetzt:

8 * ( 1 + 4t - u ) + 11 * ( 1 + 11t + u) - 1 * (3 + 0t + 3u) = 67

Dass dann ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt bei mir
16 + 153 u + 0u = 67

t = [mm] \bruch{51}{153} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

wenn ich mich nicht irre, kann das nicht richtig sein, da beim ausmultiplizieren nur eine Variabel "t" dabei ist und nicht noch die zweite Variabe "u" dabei ist ist oder so ähnlich ...

Endtschuligung habe ausversehen nach dem "reagieren" auf "Mitteilung" anstatt "auf Rückfrage""

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Schnittgerade zweier Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Mo 24.09.2012
Autor: MathePower

Hallo betina,

> Hallo reverend und alle anderen
>  
> das ist ja schonmal was, dass ich in der Klausur so richtig
> vorgegangen wäre :)
>  
> Jetzt würde ich in der Klausur so weiter so vorgehen:
>  
> Wenn ich zwei Ebenen in Paraf. gegeben habe und ich die
> Schnittgerade berechnen soll, kann ich für mich nur so am
> besten voran gehen, dass ich die Ebene 1 von der Paraf. in
> Koordinatenf. umwandle.
>  
> Kleine Änderung bei den Ebenen:
>  Bei E1 habe ich anstatt lamda ein r und anstatt mü ein s
> ersetzt.
>  Bei E2: habe ich anstatt lamda ein t und anstatt mü ein u
> ersetzt.
>  
> E1 in Koordinaten form ergibt bei mir E1:8 [mm]x_{1}[/mm] + 11 [mm]x_{2}[/mm]
> - 1 [mm]x_{3}=[/mm] 67
>  
> Und dann in E1 die Zahlen von E2 eingesetzt:
>  
> 8 * ( 1 + 4t - u ) + 11 * ( 1 + 11t + u) - 1 * (3 + 0t +
> 3u) = 67
>  
> Dass dann ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt bei
> mir
> 16 + 153 u + 0u = 67
>  
> t = [mm]\bruch{51}{153}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> wenn ich mich nicht irre, kann das nicht richtig sein, da
> beim ausmultiplizieren nur eine Variabel "t" dabei ist und
> nicht noch die zweite Variabe "u" dabei ist ist oder so
> ähnlich ...
>  

Die Koordinatenform von E1 stimmt nicht,
da z.B. der Punkt B nicht von dieser Koordinatenform erfüllt wird.


> Endtschuligung habe ausversehen nach dem "reagieren" auf
> "Mitteilung" anstatt "auf Rückfrage""


Gruss
MathePower

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Schnittgerade zweier Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Mo 24.09.2012
Autor: betina

Hallo Mathepower

Hier habe ich die Koordinatenform nochmal korrigiert und hoffentlich ist sie jetzt auch richtig:

E1 = 8 [mm] x_{1} [/mm] + 47 [mm] x_{2} [/mm] + 10 [mm] x_{3} [/mm] = 263

Jetzt E2 in E 1 eingesetzt
8 * (1 + 4t - u ) + 47 * ( 1 + 11t + u) + 19 * ( 3 + 0t + 3u) 263
112 + 549 t  + 96 u = 151

Bis hier jetzt richtig ?

Danke für die Kontrolle

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Schnittgerade zweier Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Mo 24.09.2012
Autor: Steffi21

Hallo, zunächst ist es wohl nur ein Schreibfehler

Ebene 1: [mm] 8x_1+47x_2+19x_3=263 [/mm]

bei dir steht [mm] 10x_3 [/mm]

112+549t+96u=  

bis hier ok, aber die rechte Seite der Gleichung lautet ......., wieder nur ein Schreibfehler?

Steffi

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Schnittgerade zweier Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 Mo 24.09.2012
Autor: betina

8 * (1 + 4t - u ) + 47 * ( 1 + 11t + u) + 19 * ( 3 + 0t + 3u) 263
112 + 549 t  + 96 u = 151

549 t + 96 u = 39 Jetzt muss es aber bitteeeee richtig sein

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Schnittgerade zweier Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Mo 24.09.2012
Autor: Steffi21

Hallo,

112+549t+96u=263

in der nächsten Zeile steht doch erneut die olle 151

549t+96u=151

jetzt steht erst 151 auf der rechten Seite der Gleichung

Steffi


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Schnittgerade zweier Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Mo 24.09.2012
Autor: betina

Soorrryy 10^1000 (Wirklich wieder nur ein Schreibfehler !!!)
Hätte ich die Zeit so würde ich dir mein Blatt einscannen wo ich es korrigiert habe und das da steht so wie es sein soll

549 t + 96 u = 151

Aber ab hier kann ich doch nichts mehr zusammenfassen, wie muss ich jetzt hier weiterrechnen?





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Schnittgerade zweier Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:26 Mo 24.09.2012
Autor: MathePower

Hallo betina,

> Soorrryy 10^1000 (Wirklich wieder nur ein Schreibfehler
> !!!)
>  Hätte ich die Zeit so würde ich dir mein Blatt
> einscannen wo ich es korrigiert habe und das da steht so
> wie es sein soll
>
> 549 t + 96 u = 151
>
> Aber ab hier kann ich doch nichts mehr zusammenfassen, wie
> muss ich jetzt hier weiterrechnen?
>  


Löse diese Gleichung nach einer Variablen auf
und setze sie in die zweite Ebenengleichung ein.


Gruss
MathePower

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Schnittgerade zweier Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Mo 24.09.2012
Autor: betina

Ich löse die Gleichung 549 t + 96 u = 151 nach t auf
549 t + 96 u = 151 / -96 u
549 t = 151 - 96 u die ganze Gleichung diviediert durch 549 ergibt

t = [mm] \bruch{151}{549} [/mm] - [mm] \bruch{96}{549} [/mm] u
Dann habe ich noch den zweiten Bruch gekürzt

t =  [mm] \bruch{151}{549} [/mm]  - [mm] \bruch{32}{183} [/mm] u

Bruch -- Panik -- sehr grumme Zahlen aber ich mal einfach weiter so wie es mir Mathepower gesagt hat

Das t jetzt in E2 : [mm] \vektor{1 \\ 1\\3 } [/mm] + t * [mm] \vektor{4 \\ 11\\0 } [/mm] + u * [mm] \vektor{-1\\ 1\\3} [/mm]  

Das t jetzt in E2 : [mm] \vektor{1 \\ 1\\3 } [/mm] + [mm] (\bruch{151}{549} [/mm]  - [mm] \bruch{32}{183} [/mm] u ) * [mm] \vektor{4 \\ 11\\0 }+ [/mm] u * [mm] \vektor{-1\\ 1\\3} [/mm]  

Ehhhmmmm sieht ein bisschen schrecklich aus..

Wo ist diesmal der Fehler ??




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Schnittgerade zweier Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Mo 24.09.2012
Autor: MathePower

Hallo betina,

> Ich löse die Gleichung 549 t + 96 u = 151 nach t auf
>   549 t + 96 u = 151 / -96 u
>  549 t = 151 - 96 u die ganze Gleichung diviediert durch
> 549 ergibt
>  
> t = [mm]\bruch{151}{549}[/mm] - [mm]\bruch{96}{549}[/mm] u
> Dann habe ich noch den zweiten Bruch gekürzt
>  
> t =  [mm]\bruch{151}{549}[/mm]  - [mm]\bruch{32}{183}[/mm] u
>  
> Bruch -- Panik -- sehr grumme Zahlen aber ich mal einfach
> weiter so wie es mir Mathepower gesagt hat
>  
> Das t jetzt in E2 : [mm]\vektor{1 \\ 1\\3 }[/mm] + t * [mm]\vektor{4 \\ 11\\0 }[/mm]
> + u * [mm]\vektor{-1\\ 1\\3}[/mm]  
>
> Das t jetzt in E2 : [mm]\vektor{1 \\ 1\\3 }[/mm] + [mm](\bruch{151}{549}[/mm]
>  - [mm]\bruch{32}{183}[/mm] u ) * [mm]\vektor{4 \\ 11\\0 }+[/mm] u *
> [mm]\vektor{-1\\ 1\\3}[/mm]  
>
> Ehhhmmmm sieht ein bisschen schrecklich aus..
>  


Ist aber so.


> Wo ist diesmal der Fehler ??
>  


Da ist kein Fehler.


Gruss
MathePower

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Schnittgerade zweier Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 Mo 24.09.2012
Autor: betina

[mm] (\bruch{151}{549} [/mm] - [mm] \bruch{32}{183}u) [/mm] * 4 - 1 * u = [mm] (\bruch{604}{549} [/mm] - [mm] \bruch{128}{183}u) [/mm] -  u = ( [mm] \bruch{604}{549} [/mm] - [mm] \bruch{55}{183}u) [/mm]


[mm] (\bruch{151}{549} [/mm] - [mm] \bruch{32}{183}u) [/mm] * 11 + 1 * u = [mm] (\bruch{1661}{549} [/mm] - [mm] \bruch{553}{183}u) [/mm]


[mm] (\bruch{151}{549} [/mm] - [mm] \bruch{32}{183}u) [/mm] * 0 + 3 * u = (0 + 3u)


Bevor ich jetzt weiter mache bis hier hin richtig?

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Schnittgerade zweier Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Mo 24.09.2012
Autor: Steffi21

Hallo, wir hatten

[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3 }+(\bruch{151}{549}-\bruch{32}{183}u) *\vektor{4 \\ 11 \\ 0 }+u *\vektor{-1\\ 1\\3} [/mm]

[mm] =\vektor{1+\bruch{604}{549} \\ 1+\bruch{1661}{549} \\ 3 }+u\vektor{-1-\bruch{4*32}{183}\\ 1-\bruch{11*32}{183} \\3} [/mm]

nun noch etwas Bruchrechnung

Steffi


Edit: ich hatte drei Faktoren vergessen

Bezug
                                                                                                                
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Schnittgerade zweier Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:10 Mo 24.09.2012
Autor: betina

Aber Steffi, was ich jetzt nicht verstehe ist, warum den Bruch 32/183 u nicht auch jeweil mit 4 , 11 und 0 multipliziert hast, sondern nur mit dem Bruch 151/549 mit 4 , 11 und 0 multipliziert hast.

Die BEIDE Brüche stehen in der Klammer und dahinter ist der Vektor mit man (so wie ich gedacht hatte) mit beiden Brüchen multiplizieren.


Kannst du mir das bitte erklären :-)

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Schnittgerade zweier Ebenen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:43 Mo 24.09.2012
Autor: angela.h.b.


> Aber Steffi, was ich jetzt nicht verstehe ist, warum den
> Bruch 32/183 u nicht auch jeweil mit 4 , 11 und 0
> multipliziert hast, sondern nur mit dem Bruch 151/549 mit 4
> , 11 und 0 multipliziert hast.
>  
> Die BEIDE Brüche stehen in der Klammer und dahinter ist
> der Vektor mit man (so wie ich gedacht hatte) mit beiden
> Brüchen multiplizieren.
>  
>
> Kannst du mir das bitte erklären :-)

Hallo,

das war ein Flüchtigkeitsfehler.
Es ist so richtig, wie Du es meinst.

LG Angela


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Schnittgerade zweier Ebenen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:25 Di 25.09.2012
Autor: betina

Super! Dann habe ich die Aufgabe erledigt

Vielen Dank für eure Hilfe!!

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