Schnittgerade zweier Ebene < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Blacky |
Wir sollen als Hausaufgabe zum erstenmal eine Schnittgerade zweier Ebenen berechnen. Die Ebenen sind in der Parameterform dargestellt (und sollen so auch bleiben).
Habe also die beiden Ebenengleichungen gleichgesetzt und das LGS gelöst. Da wir 4 Variablen aber nur 3 Gleichungen haben kommen natürlich undendlich viele Ergebnisse zustande. Schön und gut soweit bin ich. Jetzt aber mein Problem, ich hab nen Brett vorm Kopf und das Buch hilft mir auch nicht weiter. Ich weiß nicht wie ich rechnen muss wenn ich die Lösung die ich rausbekommen hab in eine der beiden Ebenengleichungen einsetze.:
Beispiel aus dem Buch
[mm] k = -4-\bruch{33}{2}m [/mm]
[mm] E2: \vec x= \vektor{-1 \\ 5 \\ 2} + k \vektor{1 \\ 1 \\ 2}+m \vektor{-2 \\ 1 \\ 3}[/mm]
Ergebnis: [mm] g: \vec x= \vektor{-5 \\ 1 \\ -6}+m \vektor{37 \\ 31 \\ 60} [/mm]
Den ersten Vektor kann ich mir ja noch erklären durch [mm] \vektor{-1 \\ 5 \\ 2} + \vektor{-4 \\ -4 \\ -8}[/mm] also die -4 vom k wurde erstmal in den vektor [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm] reinmultipliziert. Aber auf den rest komm ich nicht :(
Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Sa 10.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich verstehe nicht ganz, warum du versuchst eine Lösung wieder in die Ebenengleichung einzusetzen.
Wenn du die Ebenen gleichsetzt, dann IST die Lösungsmenge bereits deine gesuchte Gerade - und klar sind das unendlich viele Punkte...
Also wenn du eine Lösung deines Gleichungssystem zum Beispiel mit der Einsetzung von t berechnet hast zu : [mm] $\vektor{5-t\\6t\\-2}$
[/mm]
dann ist deine Schnittgerade also [mm] $\vektor{5\\0\\-2}+t*\vektor{-1\\6\\0}$
[/mm]
Du musst also nur eine Lösung deines Gleichungssystems in Abhängigkeit von einer Variabeln finden und dann variablen Teil von dem konstanten Teil trennen umd deine Standarddarstellung der Geraden zu haben.
ist es jetzt klarer? Kommst du dmit ans Ziel?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Blacky |
Ich möchte durch das Einsetzen eine Gleichung der Schnittgeraden bekommen.
Lass uns mal bitte bei meinem Beispiel bleiben. Ich möchte nur wissen wie man durch das Einsetzen auf das Ergebnis kommt.
Also
[mm]k = -4-\bruch{33}{2}m[/mm] --> wird eingesetzt in E2
[mm] E2: \vec x= \vektor{-1 \\ 5 \\ 2} + k \vektor{1 \\ 1 \\ 2}+m \vektor{-2 \\ 1 \\ 3}[/mm]
[mm] \gdw \vec x= \vektor{-1 \\ 5 \\ 2} +(-4-\bruch{33}{2}m) \vektor{1 \\ 1 \\ 2}+m \vektor{-2 \\ 1 \\ 3}[/mm]
[mm] \gdw \vec x= \vektor{-1 \\ 5 \\ 2} +\vektor{-4-\bruch{33}{2}m \\ -4-\bruch{33}{2}m \\ -8-33m}+m \vektor{-2 \\ 1 \\ 3} [/mm]
[mm] \gdw \vec x= \vektor{-5 \\ 1 \\ -6} +\vektor{-18,5m \\ -15,5m \\-30m} [/mm]
Das Ergebnis muss aber lauten:
[mm]g: \vec x= \vektor{-5 \\ 1 \\ -6}+m \vektor{37 \\ 31 \\ 60}[/mm]
Faktor 2, Minuszeichen, was rechne ich falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Sa 10.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo Blacky.
Deine Schnittgerade ist richitg.
Also, eine Gerade besteht ja immer aus einerm Stütz-,und einem Richtungsvektor. Die Richtugnsvektoren müssen nicht "identisch" sein, sondern nur LINEAR ABHÄNGIG, das heißt, wenn du deinen Vektor mit 2 mulitplizierst, erhälst du ja den gesuchten Richtungsvektor. Du streckst deinen Vektor ledigleich um den Faktor -2. Damit bleibt er ja immer noch auf der selben Geraden.
Viele Grüße Benno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Blacky |
Dankesehr. Da frag ich mich wer solche Mathebücher schreibt. Verwirrt ja mehr als das es lehrt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Sa 10.09.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du hast geschrieben, dass du die beiden Ebenen gleich gesetzt hast und eine Lösung berechnet hast (besser : eine Lösungsmenge)
Du musst dann nichts mehr irgendwo einsetzen, denn die Lösung beim Gleichsetzen sind ja gerade alle Punkte, die beide Ebenen gemeinsam haben.
Also genau die Gerade, die du suchst, wird durch die Lösung des Gleichungssystems schon beschrieben.
Wie man sie dann in Stützvektor und Richtungsvektor schreibt habe ich oben schon beschrieben.
Aber wenn du unbedingt an deinem Beispiel bleiben willst und wir dein Ergebnis kontrollieren sollen, dann solltest du uns zumindest mal beide Ebenen geben und die Lösung, die du beim Gleichsetzen erhalten hast.
(Eine Lösung für die vier unbekannten in Abhängigkeit von einer Variabeln)
Vielleicht wird dann auch klarer, was du hier versuchst...
(übrigens freuen wir uns über eine nette Anrede oder zumindest ein Hallo !
siehe Forumregeln)
viele Grüße
DaMenge
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