Schnittgerade von zwei Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Peterli |
Guten Tag!
Ich habe zwei Ebenen
-1 4 1
E1=-2 +s 8+ t 1
1 2 0
und
0 1 0
E2=0 +s 0 + t 1
2 -1 0,5
von denen ich die schnittgeraden ausrechnen soll.
Als erstes muss ich die beiden Gleichungen gleichsetzen aber was dann?
Danke für eure Hilfe und Unterstützung
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Max |
Du musst erstmal die Parameter der beiden Ebenengleichungen umbenennen, damit es nicht zu Verwechslungen kommt, also z.B. r,s,t,u oder so.
Dann kommst du ja beim Gleichsetzen auf ein LGS mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten (unterbestimmtes Gleichungssystem). Du kannst das ganz normal lösen, indem du einen Parameter k einführst und r,s,t,u in Abhängigkeit des Parameters k ausrechnest, du erhältst so unendlich viele Schnittpunkte (muss ja so sein, denn die Schnittgerade hat ja unendlich viele Punkte). Wenn du jetzt die Werte von r,s bzw. t,u in die zugehörigen Ebenengleichungen einsetzt, erhälst du jeweils die Parametergleichung der Schnittebene (wobei der Parameter k ist).
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 08.02.2005 | | Autor: | Horst |
Hallo zusammen,
genau das ist auch meine Aufgabe (vermutlich kenne ich den Autor). Ich grüble da schon länger dran b.z.w. versuche das nach zu vollziehen. Jedoch ohne Erfolg.
Wäre ziemlich dankbar, wenn das jemand von den anwesenden im Detail erklären könnte.
HORST
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 08.02.2005 | | Autor: | Max |
Also es gilt ja:
[mm] $E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix} -1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+r'\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 8\\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4\\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $
[mm] $E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + u' [mm] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0,5 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + u [mm] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2\\ -1 \end{pmatrix}$
[/mm]
(Ich habe bei beiden Ebenen jeweils einen Spannvektor vervielfacht, dabei ändert sich die beschriebene Ebene nicht.)
Jetzt musst du die beiden Ebenen schneiden:
[mm] $\begin{pmatrix} -1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4\\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + u [mm] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2\\ -1 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4\\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} t\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + u [mm] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
Jetzt ist die Frage, wie ihr normalerweise lineare Gleichungssysteme löst, auf jeden Fall hast du mehr Variablen als Gleichungen und kannst deine unendlich viele Lösungen nur durch einen Parameter ausdrücken. Wenn dieser Parameter $k$ ist erhält man als Lösungsmenge:
[mm] $\mathbb{L}=\{(2-k; -6+2k; -1 ; k),k\in \mathbb{R}\}$
[/mm]
Setzt man also $t=-1$ und $u=k$ in [mm] $E_2$ [/mm] ein erhält man
[mm] $g_s: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix}+(-1)\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + k [mm] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2\\ -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + k' [mm] \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
als Schnittgerade. Zur Kontrolle könnte man noch $r=2-k$ und $s=-6+2k$ in [mm] $E_1$ [/mm] einsetzten, man sollte auch auf [mm] $g_s$ [/mm] kommen (Das kannst du ja machen).
Gruß Brackhaus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Di 08.02.2005 | | Autor: | Horst |
Ich komme leider nich auf die Lösungsmenge.
Liegt aber wahrscheinlich an mir.
Ich rechne weiter
HORST
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Di 08.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Horst
das liegt vielleicht daran, dass sich Brackhaus bei der 1. Ebenengleichung vertippt hat. Der Stützvektor sollte als 2. Komponente eine $-2_$ haben, nicht eine $+2_$. Vermutlich, weil Peterli den Formeleditor nicht benutzt hat.
Wie lautet denn deine Lösung?
Meine ist diese:
[mm] $\vektor{1\\0\\1}+\lambda\vektor{0\\2\\1}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Muck |
Ich habe auch 2 Ebenengleichungen zu denen ich eine Schnittgerade bestimmen soll. Ich habe versucht sie nach dem erläuterten "Muster" zu bestimmen, doch ohne Erfolg :-( Vielleicht kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
E1: x= [mm] \pmat{ -1 \\ 0 \\ 7 } [/mm] + r [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 0 } [/mm] + s [mm] \pmat{ -7 \\ 0 \\-3 }
[/mm]
E2: x= [mm] \pmat{-2 \\ 3 \\ 2} [/mm] + t [mm] \pmat{3 \\ 1 \\ 0 } [/mm] + u [mm] \pmat{ 2 \\ 0 \\ 2 }
[/mm]
Die Gerade soll (angeblich) das Ergebnis
x= [mm] \pmat{ 0 \\ 2 \\ 7 } [/mm] + k [mm] \pmat{39 \\ 8 \\ 15 }
[/mm]
haben!?
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. DANKE!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mi 09.02.2005 | | Autor: | dominik |
Hallo Muck
Schau mal nach im Beitrag "ohne zusätzlichen Parameter", gleich unter deiner Rückfrage. Wenn du deine Zahlen einsetzest, sollte es klappen! Viele Glück!
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Muck |
Hallo Dominik,
VIELEN LIEBEN DANKE für die Hilfe. Ich werde mein Glück versuchen...
Falls es nicht klappen sollte, melde ich mich noch einmal  ) Nochmals DANKE!!
Lg,
Muck
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 09.02.2005 | | Autor: | dominik |
Diese Aufgabe kann ohne die Einführung eines zusätzlichen Parameters (es hat ja davon schon genug!) gelöst werden:
[mm] E_1: \vec{r}= \begin{pmatrix} -1 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4\\ 1 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] E_2: \vec{r}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix}+u \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2\\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
Die jeweiligen Komponentengleichungen werden einander gleich gesetzt:
[mm] \begin{matrix}
1)\qquad -1+2r+s&=&t\\
2)\qquad -2+4r+s&=&-2u\\
3)\qquad \qquad \quad 1+r&=&2-t-u
\end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix}
1)-2)=4)\qquad 1-2r&=&t+2u\\
3)\qquad \qquad \qquad \quad 1+r&=&2-t-u\\
4)+3)\qquad \qquad 2-r&=&2+u
\end{matrix} [/mm]
[mm]\gdw u=-r[/mm]
Jetzt wählen wir für u und r passende Zahlen, zum Beispiel:
[mm]r=1 \Rightarrow u=-1 \Rightarrow t=1[/mm] (zB von Gleichung 3)
[mm]E_2:x=t=1;y=-2*u=2;z=2-t-u=2 \Rightarrow P(1/2/2)[/mm]
P liegt in beiden Ebenen.
Nun wählen wir für u und r wieder passende Zahlen, zum Beispiel:
[mm]r=2 \Rightarrow u=-2 \Rightarrow t=1[/mm]
[mm]E_2:x=t=1;y=-2*u=4;z=2-t-u=3 \Rightarrow Q(1/4/3)[/mm]
Auch Q liegt in beiden Ebenen.
Mit P und Q lässt sich nun eine Parametergleichung der Schnittgeraden bestimmen, zum Beispiel:
[mm] \vec{r}= \vektor{1 \\ 2\\2}+q*\vektor{0 \\ 2\\1}
[/mm]
Viele Grüsse
dominik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Muck |
Hallihallo,
ich habe Dominiks Rat befolgt und die Komponentengleichungen gleichgesetzt:
1) -1 +r - 7s = -2 + t + 2u
2) 2r = 3 + t
3) 7- 3s = 2 + 2u
Nun komme ich aber nicht weiter!?!? :-((( Muss ich hier schon selber passende Zahlen wählen?! Es wäre wirklich suuuper nett, wenn mir da nochmal jemand auf die Sprünge helfen könnte... Ich verzweifle!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:45 Do 10.02.2005 | | Autor: | dominik |
Hallo Muck
Der erste Schritt ist richtig, bis auf den Flüchtigkeitsfehler, den ich rot markiert habe:
> Komponentengleichungen gleichgesetzt:
> 1) -1 +r - 7s = -2 + 3t + 2u
> 2) 2r = 3 + t
> 3) 7- 3s = 2 + 2u
>
> Nun komme ich aber nicht weiter!?!? Muss ich hier
> schon selber passende Zahlen wählen?!
Es kommt nicht darauf an, wann du eine Zahl wählst. Ich würde es später tun: Jetzt zB u eliminieren:
1)-3)= 4) -8+r-4s = -4+3t
2) 2r = 3+t, daraus t = 2r-3 oben in 4) einsetzen:
4) -8+r-4s = -4+3(2r-3)=-4+6r-9
5-4s = 5r
Jetzt ist der Zeitpunkt zum Wählen günstig. Wir kommen sonst gar nicht weiter.
Wir müssen dies zwei Mal tun:
I) zB s=5, so wird r ganzzahlig: 5-4*5=5r daraus r=-3
Damit lassen sich mit der linken Seite des Gleichungssystems x, y und z bestimmen:
x = -1 +r - 7s = -1-3-35 = -39
y = 2r = -6
z = 7-3s = 7-15 = -8
Der erste Punkt P hat die Koordinaten P(-39/-6/-8)
II) Das Ganze noch einmal, zB mit s=10 (Fünferreihe!), damit r wieder ganzzahlig wird. Abkekürzt: r=-7; Q(-78/-14/-23)
Nun haben wir die beiden Punkte P und Q, mit welchen wir die Gleichung der Geraden bilden können:
[mm] \vec{r}= \vektor{-39 \\ -6\\-8}+t*\vektor{39 \\ 8\\15}
[/mm]
Jetzt vergleichen wir noch diese Löung mit deiner vorgegebene Lösung:
[mm] \vec{r}= \vektor{0 \\ 2\\7}+t*\vektor{39 \\ 8\\15}
[/mm]
1. Die Richtungsvektoren stimmen überein
2. Die Stützvektoren sind verschieden: schauen wir, ob der Punkt (0/2/7) auf "unserer" Geraden liegt:
[mm] \vektor{0 \\ 2\\7}= \vektor{-39 \\ -6\\-8}+t*\vektor{39 \\ 8\\15}
[/mm]
dies stimmt, wenn t=1 ist! Also stellen beide Gleichungen die selbe Gerade dar. "Unsere" hat einen etwas umständlichen Stützvektor, der sich aber ohne weiteres anpassen lässt, wenn für t eine Zahl gewählt wird.
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Do 10.02.2005 | | Autor: | Muck |
Hallo Dominik!
Ich hatte einen Fehler gemacht (hab die 3 vor dem t in der ersten Zeile vergessen), darum bin ich nicht weitergekommen... *schäm* Jetzt ist alles klar!
DANKE für die Hilfe!!
Liebe Grüße
Muck
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